AMC 10 · 2019 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

recursive-sequencesequences-geometricexponentspolynomial-factoringestimation pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequencesequences-geometricexponents

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

x₀ = 5 이고 x_n+1 =

\frac{x_n² + 5 x_n + 4}{x_n + 6}

로 정의된 수열이 있다. x_m ≤ 4 +

\frac{1}{2²⁰}

을 만족하는 최소 양의 정수 m 이 속하는 구간은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

[9,26]

(B)

[27,80]

(C)

[81,242]

(D)

[243,728]

(E)

$[729,\infty)$

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #13 (대수): 분자 인수분해로 고정점 x = 4 노출, y_n = x_n - 4 치환으로 평형을 0 으로 이동. 도구 #9 (더 쉬운 문제): y = 0 근방에서 점화식이 거의 선형 (y_n+1 ≈ $\frac{9}{10}$ y_n) — 닫힌 형태 기하 수열. 도구 #5 (패턴): 공비 $\frac{9}{10}$ 과 선택지 폭으로 m ≈ $\frac{20 log 2}{log(\frac{10}{9})}$ 추정. 도구 #6 (추측·확인): m ≈ 130 을 선택지 구간에 대입. 도구 #3 (가능성 지우기): 구간이 넓어 거친 추정으로 충분.

1STEP 1

인수분해 후 x = 4 대입: $\frac{5·8}{10}$ = 4, 즉 4 가 고정점.

x_n+1 =

\frac{(x_n+1)(x_n+4)}{x_n+6}

; x = 4 고정

2STEP 2

y_n = x_n - 4 치환(고정점까지 거리) → y_n+1 = $\frac{y_n(y_n + 9)}{y_n + 10}$ , 평형이 0.

y_n+1 =

\frac{y_n (y_n + 9)}{y_n + 10}

3STEP 3

y₀ = 1, 감소하므로 비 $\frac{y_n + 9}{y_n + 10}$ 는 $\frac{9}{10}$ 로 수렴 → 작은 y 에서 y_n ≈ ( $\frac{9}{10}$ )ⁿ.

y_n+1 ≈

\frac{9}{10}

y_n → y_n ≈ (

\frac{9}{10}

)ⁿ

4STEP 4

y_m ≤ $\frac{1}{2²⁰}$ 이 되려면 ( $\frac{9}{10}$ )^m = $\frac{1}{2²⁰}$ ; 로그를 취하면 m = $\frac{20 log 2}{log(\frac{10}{9})}$ .

m ≈

\frac{20 log₁0 2}{log₁0(\frac{10}{9})}

5STEP 5

log 2 ≈ 0.301, log( $\frac{10}{9}$ ) ≈ 0.046 대입: m ≈ $\frac{20 · 0.301}{0.046}$ ≈ 131.

m ≈

\frac{6.02}{0.046}

≈ 131

6STEP 6

선택지 구간 중 m ≈ 131 은 [81, 242] 안에 깔끔히 들어감.

131 ∈ [81, 242]

7STEP 7

정답 (C).

[81, 242]

정답

[81,242]

두 가지 검증. (1) 실제 비

\frac{y_n + 9}{y_n + 10}

은 y₀ = 1 일 때

\frac{10}{11}

≈ 0.909 에서 시작해

\frac{9}{10}

= 0.9 로 수렴. 즉 초반 감쇠가

\frac{9}{10}

보다 약간 느림 — 진짜 m 은 (

\frac{9}{10}

)^m = 2⁻²⁰ 추정보다 살짝 큼, 여전히 [81, 242] 안. (2) 비를

\frac{10}{11}

로 고정 시 m log(

\frac{11}{10}

) ≥ 20 log 2, m ≥

\frac{20 · 0.301}{0.0414}

≈ 145 — 여전히 (C). 구간이 넓어 어떤 합리적 추정도 (C) 에 안착.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 로그와 기하 수열만 있으면 풀려요 — y_n = x_n - 4 치환으로 공비 $\frac{9}{10}$ 노출, ( $\frac{9}{10}$ )^m ≈ $\frac{1}{2²⁰}$ 에서 m ≈ 131, 구간 [81, 242].

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