AMC 10 · 2019 · #4

학년 6 algebra

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sequences-arithmeticcoordinate-geometrylinear-equations-two-varpattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticlinear-equations-two-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

a, b, c가 등차수열을 이룰 때 (이웃한 두 수의 차이가 일정), 직선 a x + b y = c 의 모든 형태가 한 공통점을 지난다고 합니다. 그 공통점의 좌표를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(-1,2)

(B)

(0,1)

(C)

(1,-2)

(D)

(1,0)

(E)

(1,2)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제): 모든 등차수열을 다룰 필요 없이 가장 간단한 두 개만 — (a, b, c) = (1, 2, 3) 과 (1, 3, 5). 그러면 두 직선 x + 2y = 3, x + 3y = 5. 공통점은 답에 포함됨. 도구 #3(가능성 지우기) + 도구 #6(추측하고 확인): 다섯 선택지를 두 식에 대입해 둘 다 만족하는 점만 답. 대수 필요 없음.

1STEP 1

간단한 등차수열 둘: (1, 2, 3) → x + 2y = 3, (1, 3, 5) → x + 3y = 5. 점은 둘 다 만족해야 함.

직선 1: x + 2y = 3 직선 2: x + 3y = 5

2STEP 2

각 선택지를 x + 2y = 3 에 대입: (-1, 2) 만 통과 (-1 + 4 = 3); 나머지는 모두 탈락.

x + 2y = 3 에서 (-1, 2) 만 통과: -1 + 4 = 3

3STEP 3

(-1, 2) 를 둘째 직선 x + 3y = 5 에 확인: -1 + 6 = 5 ✓, 두 직선 모두 위에 있음.

x + 3y = 5 에서: (-1) + 3(2) = -1 + 6 = 5 ✓

4STEP 4

(2,5,8): 2(-1)+5(2)=8 ✓, (3,2,1): 3(-1)+2(2)=1 ✓ — 모든 등차수열에서 (-1, 2) 통함.

(-1, 2): 2(-1) + 5(2) = 8 ✓; 3(-1) + 2(2) = 1 ✓ → (A)

정답

(-1,2)

확인: 등차수열에서 c = 2b - a. (x, y) = (-1, 2) 를 a x + b y 에 대입: a(-1) + b(2) = -a + 2b = 2b - a = c ✓. 따라서 어떤 등차수열 (a, b, c) 에 대해서도 직선 ax + by = c 는 (-1, 2) 를 지남. 우리가 고른 예뿐 아니라 보편적으로 성립.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 식 계산만 알면 풀 수 있어요 — 간단한 등차수열 (1, 2, 3), (1, 3, 5) 두 개를 골라 선택지의 점을 두 식에 대입하면 (-1, 2) 만 살아남아요. 답은 (A)!

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