AMC 10 · 2019 · #5

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

reflection-symmetrycoordinate-geometryslope-intercepttransformations-composition caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 ABC 가 제1사분면에 있습니다. 각 꼭짓점을 직선 y = x 에 대해 대칭시켜 A', B', C' 를 얻습니다. 어떤 꼭짓점도 y = x 위에 있지는 않습니다. 다섯 가지 진술 중 항상 참이라고 할 수 없는 것을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Triangle $A'B'C'$ lies in the first quadrant.

(B)

Triangles $ABC$ and $A'B'C'$ have the same area.

(C)

The slope of line $AA'$ is $-1$.

(D)

The slopes of lines $AA'$ and $CC'$ are the same.

(E)

Lines $AB$ and $A'B'$ are perpendicular to each other.

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

도구 #1(그림): y = x 와 예시 삼각형, 그리고 대칭상을 스케치 — (A), (B) 가 한눈에 보임. 도구 #3(가능성 지우기): 다섯 진술을 차례로 점검해 일반적으로 성립하는 건 지움. 도구 #9(더 쉬운 문제): (C), (D) 는 일반 꼭짓점 (p, q) 를 문자로 두고 기울기 공식 직접 계산, (E) 는 간단한 구체 삼각형을 골라 AB ⊥ A'B' 인지 확인 — 반례 하나면 충분.

1STEP 1

두 좌표가 양수인 점 (p, q) 는 (q, p) 로 대칭돼도 양수 — A'B'C' 도 제1사분면. (A) 항상 참 — 제거.

(p, q), p, q ＞ 0 → (q, p), q, p ＞ 0 ✓

2STEP 2

대칭은 강체 운동이라 A'B'C' 는 ABC 와 합동 — 넓이도 같음. (B) 항상 참 — 제거.

대칭 → 합동 → 넓이 같음

3STEP 3

A = (p, q) 면 A' = (q, p), AA' 의 기울기 = $\frac{p - q}{q - p}$ = -1. (C) 항상 참 — 제거.

slope(AA') =

\frac{p - q}{q - p}

= -1 ✓

4STEP 4

같은 방식으로 CC' 의 기울기도 -1 — AA' 와 CC' 의 기울기가 같음. (D) 항상 참 — 제거.

slope(CC') = -1 = slope(AA') ✓

5STEP 5

A = (1, 2), B = (3, 4): AB, A'B' 기울기 모두 1 — AB 와 A'B' 는 평행이지 수직이 아님 — (E) 깨짐.

A = (1, 2), B = (3, 4): slope(AB) = 1, slope(A'B') = 1 → 평행, 수직 아님 → (E)

정답

Lines AB and A'B' are perpendicular to each other.

(E) 일반 증명. A = (p₁, q₁), B = (p₂, q₂) 라 두면 AB 의 기울기 m =

\frac{q₂ - q₁}{p₂ - p₁}

. (q₁, p₁) 과 (q₂, p₂) 사이의 A'B' 기울기는

\frac{p₂ - p₁}{q₂ - q₁}

\frac{1}{m}

. 두 기울기의 곱 = m ·

\frac{1}{m}

= 1, -1 이 아님. 따라서 AB 와 A'B' 는 절대 수직이 아님(수직은 곱이 -1). 구체 반례와 일반 분석이 모두 일치 — (E) 가 답.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 대칭과 기울기 규칙만 알면 풀 수 있어요 — y = x 대칭에서 좌표가 서로 바뀌어서 (A), (B), (C), (D) 는 모두 성립하지만, AB 와 A'B' 의 기울기 곱은 +1 (-1 이 아님) 이라 수직이 항상 성립하지는 않아요. 답은 (E)!

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