AMC 10 · 2019 · #6
학년 6 arithmetic factorialpolynomial-factoringfactorsdigit-sum pattern-recognitionguess-and-check ↑ 선수 지식: factorialpolynomial-factoring
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
(n+1)! + (n+2)! = n! · 440 을 만족하는 양의 정수 n 을 찾고, 그 n 의 자리수의 합을 구함.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
3
(B)
8
(C)
10
(D)
11
(E)
12
AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 추측하고 확인하기
팩토리얼이 무서워 보여도 세 항 모두 n! 을 공통으로 품고 있음. n! 을 통째로 빼내면 (도구 #9 로 식 단순화) 모양이 드러나고 (도구 #5: 두 정수의 곱), 적당한 값을 시도해 (도구 #6) 답안 자리수 합으로 확인 (도구 #3).
1STEP 1
세 항 모두 같은 n! 을 품으니 식 전체에서 공통 n! 을 빼냄.
(n+1)!+(n+2)! = n![(n+1)+(n+2)(n+1)]
공통 n! 을 빼내면 팩토리얼 문제가 작은 대수 문제로 바뀜.
5.OA.A.2Solve An Easier Related Problem2STEP 2
양변을 n! 으로 약분하면 남는 식은 (n+1)(n+3) = 440 으로 인수분해됨.
(n+1) + (n+2)(n+1) = 440 → (n+1)[1+(n+2)] = 440 → (n+1)(n+3) = 440
2 차이 나는 두 자연수의 곱이 440 — 훨씬 다루기 쉬움.
6.EE.A.3Solve An Easier Related Problem3STEP 3
2 차이 나는 두 인수의 곱이 440; √440 ≈ 21 근처의 짝 20 × 22 가 맞음.
20 × 22 = 440 ✓
√(440)≈ 21 이라 두 인수는 21 근처 — 20, 22 가 후보.
4.OA.B.4Guess And Check4STEP 4
n+1 = 20 으로 놓으면 (n+3 = 22 도 일치) n = 19.
n + 1 = 20 → n = 19
두 식이 모두 같은 n 을 가리키므로 n=19 가 정답.
6.EE.B.7Guess And Check5STEP 5
n = 19 의 자리수는 1 + 9 = 10, 즉 (C).
1 + 9 = 10 → (C)
두 자리 수의 자리수 합은 십의 자리와 일의 자리를 더한 것.
2.NBT.A.1Eliminate Possibilities정답
10
검산: (19+1)!+(19+2)! = 20! + 21! = 20!·(1+21) = 20!· 22, 19!· 440 = 19!· 20· 22 = 20!· 22. 양변 일치. n=19 확정, 자리수 합 10 은 (C).
💡핵심 정리
이 AMC 10 문제는 사실 6학년 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 두 항에서 n! 을 빼내면 (n+1)(n+3)=440, 20× 22 가 보이니 n=19, 자리수 합은 10.