AMC 10 · 2019 · #7

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

lcmprime-factorizationdivisibility-rulesmultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: lcmprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Casper 의 지갑에 든 동전이 빨강 사탕 12 개, 초록 14 개, 파랑 15 개, 또는 보라 n 개를 정확히 살 수 있는 액수. 모든 사탕 가격은 자연수 센트, 보라 가격은 20 센트. 최소 n 을 구함.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

사탕 이야기 뒤에 숨은 진짜 질문은 "네 수 모두로 나누어지는 가장 작은 센트 액수" — 곧 12, 14, 15, 20 의 최소공배수 (도구 #9 로 단순화). 도구 #6/#3 으로 각 선택지를 20n 에 대입해 12, 14, 15 로 나누어지는지 역검산. 도구 #8 로 센트와 개수 단위를 헷갈리지 않게 함.

1STEP 1

이야기를 번역: 총액(센트)은 12, 14, 15, 20 의 배수여야 하니 최소는 이들의 lcm.

총액 = lcm(12, 14, 15, 20)

2STEP 2

소인수분해 12=2²·3, 14=2·7, 15=3·5, 20=2²·5, 각 소수의 최대 지수를 모으면 2² · 3 · 5 · 7.

2² · 3 · 5 · 7 = 4 · 3 · 5 · 7

3STEP 3

곱하면 4·3·5·7 = 420 센트 — Casper 가 가진 최소 총액.

lcm = 420 센트

4STEP 4

보라는 개당 20 센트, 단위 추적 — 센트÷(개당 센트)=개수: n = 420 ÷ 20 = 21.

n =

\frac{420}{20}

= 21

5STEP 5

역검산: 더 작은 후보 18 은 360 센트가 필요하지만 360 은 14 로 안 나눠짐 — 21 이 진짜 최소, (B).

n=21 → (B)

정답

420 센트 검산: 빨강

\frac{420}{12}

= 35 센트, 초록

\frac{420}{14}

= 30 센트, 파랑

\frac{420}{15}

= 28 센트, 보라

\frac{420}{20}

= 21 개. 모두 자연수, 한 개당 1달러 미만 — 자연스러움. n=21, 답 (B).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 최소공배수만 알면 풀 수 있어요 — Casper 의 센트가 12, 14, 15, 20 모두로 정확히 나뉘어야 하니 lcm(12,14,15,20) = 420 센트, n = $\frac{420}{20}$ = 21.

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