AMC 10 · 2019 · #9

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

floor-functionabsolute-valuefunction-evaluationcasework caseworkpattern-recognition ↑ 선수 지식: floor-functionabsolute-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

모든 실수 x 에 대해 f(x) = ⌊|x|⌋ - |⌊ x ⌋| 으로 정의된 함수의 치역을 구함. 여기서 ⌊ r ⌋ 은 r 이하의 최대 정수.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\{-1, 0\}$

(B)

The set of nonpositive integers

(C)

$\{-1, 0, 1\}$

(D)

$\{0\}$

(E)

The set of nonnegative integers

AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

|·| 와 ⌊·⌋ 가 x 의 부호·정수 여부에 따라 다르게 작동하니, 각 종류의 작은 x 를 골라 직접 계산 (도구 #9). 같은 종류 안에서는 값이 일정한지 도구 #5 로 패턴 확인. 도구 #6 으로 2.5, -2.5, -3, 0.5 같은 구체값을 대입, 도구 #3 으로 선택지를 좁힘.

1STEP 1

경우 1, x ≥ 0: 절댓값이 하는 일이 없어 두 항이 같고 f(x) = 0 (x = 2.5 → 2 - 2 = 0).

x ≥ 0 → f(x) = 0

2STEP 2

경우 2, x 가 음의 정수 (x = -3): |x| 와 ⌊ x ⌋ 가 이미 정수라 f(x) = 3 - 3 = 0.

x = -3 → ⌊ 3 ⌋ - | - 3| = 3 - 3 = 0

3STEP 3

경우 3, 음의 비정수 x = -2.5: ⌊ -2.5 ⌋ = -3 라 f = 2 - 3 = -1.

f(-2.5) = 2 - 3 = -1

4STEP 4

패턴 확인: x = -0.5 → 0 - 1 = -1, x = -10.2 → 10 - 11 = -1. 음의 비정수는 모두 -1.

x 음의 비정수 → f(x) = -1

5STEP 5

출력은 0 (경우 1-2) 과 -1 (경우 3-4) 뿐이라 치역은 {-1, 0}; (B)(C)(E)는 없던 값, (D)는 -1 누락.

Range(f) = {-1, 0} → (A)

정답

{-1, 0}

⌊|x|⌋ - |⌊ x ⌋| 은 바닥과 절댓값의 순서가 바뀔 때 생기는 차이를 측정. x ≥ 0 에서는 두 연산이 교환되고, 음의 정수에서도 일치하며, 음의 비정수에서만 바닥이 한 칸 더 내려가 -1 의 간격 발생. 그래서 f 가 가질 수 있는 값은 0 또는 -1 뿐 — (A).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 함수 개념만 알면 풀 수 있어요 — x ≥ 0 과 음의 정수에서는 f = 0, 음의 비정수 (-2.5 등) 에서는 바닥이 한 칸 더 내려가서 f = -1. 치역은 {-1, 0}.

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