AMC 10 · 2020 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

mean-median-mode-rangeperfect-squaressystematic-enumerationfloor-function easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangeperfect-squares

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

4040 개 수의 리스트 {1, 2, 3, …, 2020, 1², 2², 3², …, 2020²} 을 작은 수부터 정렬한 뒤, 중앙값(2020 번째와 2021 번째 값의 평균)을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1974.5

(B)

1975.5

(C)

1976.5

(D)

1977.5

(E)

1978.5

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

리스트가 너무 크니까(원소 4040 개) 도구 #9(쉬운 문제): N=2020 대신 N=4 로 같은 구조를 먼저 풀고 규칙을 본다. 작은 케이스에서, 각 정수 k 보다 작거나 같은 제곱수 1², 2², … 들이 작은 정수 사이에 끼어 들어가 중앙값을 "아래로" 밀어 내는 모습이 보임. 도구 #2(빠짐없이 나열): 중앙 근처 각 후보 k 에 대해 리스트에서 k 이하인 항목을 정확히 세기. 도구 #5(패턴): k 의 순위 = k + (k 이하인 제곱수의 개수). 도구 #3(가능성 지우기): 최종 중앙값을 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

맛보기로 N=4: 정렬하면 1,1,2,3,4,4,9,16, 중앙값은 3.5 — 큰 제곱수가 아니라 작은 정수 영역에 위치.

정렬: 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 9, 16 → 중앙값 = 3.5

2STEP 2

N=2020: 44×44=1936 ≤ 2020 ＜ 2025=45×45 이므로 2020 이하 제곱수는 1²…44², 딱 44 개.

44 × 44 = 1936 ≤ 2020 ＜ 2025 = 45 × 45

3STEP 3

1936 ≤ k ≤ 2024 구간의 정수 k 는 k 이하 제곱수가 정확히 44 개라, 순위는 k + 44.

순위(k) = k + 44 (1936 ≤ k ≤ 2024)

4STEP 4

2020 번째 항: k + 44 = 2020 을 풀어 k = 1976, 1976 은 정수 리스트에 실제로 들어 있음.

순위(1976) = 1976 + 44 = 2020 → S₂020 = 1976

5STEP 5

2021 번째 항: 그 다음 값은 정수 1977, 다음 제곱수 45² = 2025 보다 여전히 작음.

S₂021 = 1977 (1977 ＜ 2025 = 45² 이므로)

6STEP 6

가운데 두 항의 평균: $\frac{1976 + 1977}{2}$ = 1976.5.

중앙값 =

\frac{1976 + 1977}{2}

= 1976.5

7STEP 7

1976.5 와 같은 선택지는 (C) 하나뿐; 나머지는 제곱수 개수를 하나·둘 잘못 센 값.

1976.5 → (C)

정답

1976.5

다섯 선택지가 모두 1976.5 근처에 몰려 있는 것 자체가 힌트: 중앙값은 2020 에서 제곱수 개수 44 만큼 "내려간" 정수 부근이어야 함. 답 1976.5 는 2020 보다 정확히 43.5 작고, 44 칸 시프트와 연속된 두 정수의 평균에서 오는 반칸 차이까지 모두 설명됨. 크기·부호 모두 합리적.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 중앙값만 알면 풀 수 있어요! 비결은: 2020 이하인 제곱수는 1² 부터 44² 까지 정확히 44 개(44² = 1936 이지만 45² = 2025 는 너무 큼). 그래서 1936 과 2024 사이 정수 k 는 순위가 k + 44. k + 44 = 2020 을 풀면 k = 1976, 이게 2020 번째 값. 2021 번째는 1977. 중앙값 = (1976 + 1977)/2 = 1976.5, 답 (C).

비슷한 유형 더 풀어보기