AMC 10 · 2020 · #14

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

vieta-formulaspolynomial-factoringsymmetric-polynomialsfraction-arithmetic identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: vieta-formulaspolynomial-factoring

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

실수 x, y 가 x + y = 4 와 xy = -2 를 만족합니다. x +

\frac{x³}{y²}

\frac{y³}{x²}

+ y 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

360

(B)

400

(C)

420

(D)

440

(E)

480

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): 네 항을 그대로 더하지 말고 짝짓기. (x + $\frac{y³}{x²}$ ) + ( $\frac{x³}{y²}$ + y) = $\frac{x³ + y³}{x²}$ + $\frac{x³ + y³}{y²}$ , 공통 인수 x³ + y³ 으로 묶어 E = (x³ + y³)( $\frac{1}{x²}$ + $\frac{1}{y²}$ ) = $\frac{(x³ + y³)(x² + y²)}{x² y²}$ . 도구 #13(대수): x + y = 4, xy = -2 만으로 x² + y², x³ + y³, x² y² 를 구함. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 값을 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

x = $\frac{x³}{x²}$ , y = $\frac{y³}{y²}$ 로 고쳐 써서 분모를 맞추고 다시 묶기: E = $\frac{x³ + y³}{x²}$ + $\frac{x³ + y³}{y²}$ .

E =

\frac{x³ + y³}{x²}

\frac{x³ + y³}{y²}

2STEP 2

공통 인수 x³ + y³ 을 묶고 두 분수를 x² y² 위에서 합치기: E = $\frac{(x³ + y³)(x² + y²)}{x² y²}$ .

E =

\frac{(x³ + y³)(x² + y²)}{x² y²}

3STEP 3

(x + y)² = x² + 2xy + y² 에서: x² + y² = 4² - 2(-2) = 16 + 4 = 20.

x² + y² = (x+y)² - 2xy = 16 + 4 = 20

4STEP 4

(x+y)³ = (x³ + y³) + 3xy(x+y) 에서: x³ + y³ = 4³ - 3(-2)(4) = 64 + 24 = 88.

x³ + y³ = (x+y)³ - 3xy(x+y) = 64 + 24 = 88

5STEP 5

곱을 제곱: x² y² = (xy)² = (-2)² = 4.

x² y² = (xy)² = 4

6STEP 6

세 값을 대입: E = $\frac{88 · 20}{4}$ = $\frac{1760}{4}$ = 440.

E =

\frac{88 · 20}{4}

= 22 · 20 = 440

7STEP 7

440 과 같은 선택지는 (D) 하나뿐; x² + y² 인수를 빠뜨리거나 부호를 틀리면 더 작은 값이 나옴.

E = 440 → (D)

정답

440

x + y = 4, xy = -2 이면 x, y 는 t² - 4t - 2 = 0 의 두 근, 즉 x = 2 + √(6), y = 2 - √(6). 그러면 x ≈ 4.449, y ≈ -0.449 이고

\frac{x³}{y²}

≈

\frac{88.0}{0.202}

≈ 436,

\frac{y³}{x²}

≈

\frac{-0.091}{19.79}

≈ -0.005. 거기에 x + y = 4 를 더하면 E ≈ 440. ✓ 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 식 변형만 알면 풀 수 있어요! x = $\frac{x³}{x²}$ , y = $\frac{y³}{y²}$ 로 고쳐 쓰면 네 항이 묶여 E = $\frac{(x³ + y³)(x² + y²)}{x² y²}$ . 항등식 x² + y² = (x+y)² - 2xy = 20, x³ + y³ = (x+y)³ - 3xy(x+y) = 88, x² y² = 4 만 있으면 끝. 대입: E = $\frac{88 · 20}{4}$ = 440, 답 (D).

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