AMC 10 · 2020 · #17

학년 8 arithmetic

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polynomial-rootssign-analysissystematic-enumerationperfect-squaressequences-arithmetic easier-related-problempattern-recognitioncasework ↑ 선수 지식: polynomial-rootssign-analysis

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다항식 P(x) = (x-1)(x-4)(x-9)…(x-10000) 은 100개의 완전제곱수 1, 4, 9, …, 100² = 10000 에서 근을 갖습니다. P(n) ≤ 0 즉, 0 이거나 음수가 되는 정수 n 의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

4900

(B)

4950

(C)

5000

(D)

5050

(E)

5100

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9 (더 쉬운 문제): 인수 100개를 한꺼번에 추적하기는 너무 많으니, 100을 4로 줄여 Q(x) = (x-1)(x-4)(x-9)(x-16) 을 살펴봅니다. Q(n) ≤ 0 인 정수를 직접 그려봅니다. 도구 #5 (패턴): P(n) 의 부호는 연속된 완전제곱 근 사이를 지날 때마다 +,-,+,-,… 로 번갈아 바뀌므로, 음수 또는 0 인 구간은 정확히 [1², 2²], [3², 4²], …, [99², 100²] — 총 50개. 도구 #7 (쪼개기): 일반 구간 [(2k-1)², (2k)²] 안의 정수 개수를 구한 뒤 k = 1, …, 50 에 대해 합산.

1STEP 1

인수 100개를 근 4개짜리 Q 로 줄이면, n 이 근을 지날 때마다 한 인수의 부호가 바뀌어 Q 의 부호가 근마다 뒤집힙니다.

Q(x) = (x-1)(x-4)(x-9)(x-16)

2STEP 2

P 의 부호가 번갈아 바뀌므로 P(n) ≤ 0 인 닫힌 구간은 [1²,2²], [3²,4²], …, [99²,100²] — 총 50개.

[(2k-1)², (2k)²] for k = 1, 2, …, 50

3STEP 3

일반 구간 [(2k-1)²,(2k)²] 의 정수 개수는 (2k)²-(2k-1)²+1 = (4k-1)+1 = 4k 개.

(2k)² - (2k-1)² + 1 = (4k-1) + 1 = 4k

4STEP 4

확인: [1,4] 에는 1,2,3,4 = 4·1 개, [9,16] 에는 정수 8 = 4·2 개 — 4k 공식이 맞습니다.

k=1: 4, k=2: 8, k=3: 12

5STEP 5

k=1…50 합산: Σ4k = 4· $\frac{50·51}{2}$ = 4·1275 = 5100, 답 (E).

Σ_k=1⁵⁰ 4k = 4 ·

\frac{50 · 51}{2}

= 5100 → (E)

정답

5100

가장 큰 근과 비교: 100² = 10,000. 1 부터 10,000 까지 정수는 총 10,000 개, 그중 나쁜 구간은 대략 절반인 약 5,000 개. 우리 답 5100 은 그 근처이며, 약간의 초과분은 완전제곱 끝점 (P(n) = 0) 을 포함한 것. 다른 선택지 (4900, 4950, 5000, 5050) 는 완전제곱 끝점 한두 개 차이 — 문제가 이 정확한 카운트를 노린 이유.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 부호 패턴 추론만 알면 풀 수 있어요 — n 이 완전제곱수를 지날 때마다 부호가 뒤집히므로 나쁜 구간 [1², 2²], [3², 4²], …, [99², 100²] 안의 정수는 4 + 8 + 12 + … + 200 = 5100 개. 답은 (E).

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