AMC 10 · 2020 · #18

학년 7 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

paritycaseworkcombinations-basicsystematic-enumeration caseworkidentify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: paritycombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

네 수 a, b, c, d 를 각각 {0, 1, 2, 3} 에서 (중복 허용·순서 구별) 고릅니다. 순서쌍 (a, b, c, d) 중 a · d - b · c 가 홀수인 것의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

128

(E)

192

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): 실제 값이 아니라 홀짝(parity) 만 중요. 두 작은 문제로 분해 — "ad 가 홀수가 되는 (a, d) 의 개수는?" 와 "bc 가 홀수가 되는 (b, c) 의 개수는?". 그러면 ad - bc 가 홀수일 조건은 둘 중 정확히 하나만 홀수일 때. 도구 #2 (나열): {0, 1, 2, 3} 의 홀수는 {1, 3}, 짝수는 {0, 2} — 각각 2개. 도구 #9 (더 쉬운 문제): 4값 집합을 "홀/짝" 둘로만 줄이면 단순한 홀짝 세기 문제가 됩니다.

1STEP 1

곱이 홀수이려면 두 인수 모두 홀수 — {0, 1, 2, 3} 홀수는 2개라 16 쌍 중 4 쌍이 a · d 홀수, 나머지 12는 짝수.

#{(a,d): ad 홀수} = 2 · 2 = 4, #{(a,d): ad 짝수} = 12

2STEP 2

같은 논리로 (b, c) 도 (a, d) 와 동일 — b · c 홀수 4 쌍, 짝수 12 쌍.

#{(b,c): bc 홀수} = 4, #{(b,c): bc 짝수} = 12

3STEP 3

a · d - b · c 가 홀수인 건 두 곱의 홀짝이 다를 때뿐 — 하나는 홀, 하나는 짝; 배타적 두 경우.

홀 - 짝 = 홀, 짝 - 홀 = 홀

4STEP 4

경우 1 — a · d 홀수, b · c 짝수: 두 쌍이 독립이므로 곱하면 48.

경우 1 = 4 · 12 = 48

5STEP 5

경우 2 — a · d 짝수, b · c 홀수: 대칭이라 이것도 48.

경우 2 = 12 · 4 = 48

6STEP 6

두 경우는 겹치지 않으므로 (곱은 홀수이자 짝수일 수 없음) 더하면 96, 선택지 (C).

48 + 48 = 96 → (C)

정답

전체 4⁴ = 256 중 답 96 은 정확히

\frac{96}{256}

\frac{3}{8}

. 합리적: 각 곱이 홀수일 확률은

\frac{1}{4}

(네 값 중 홀수 둘을 제곱), 두 홀짝이 다를 확률은 2 ·

\frac{1}{4}

\frac{3}{4}

\frac{6}{16}

\frac{3}{8}

, 따라서

\frac{3}{8}

· 256 = 96. 선택지 48 과 192 는 각각 답의 절반과 두 배 — 한 경우만 세거나 대칭 실수의 흔한 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 홀짝 세기만 알면 풀 수 있어요 — 곱이 홀수가 되려면 두 인수 모두 홀수여야 하므로 16 쌍 중 4 쌍만 홀수 곱. 한쪽은 홀수 곱, 다른 한쪽은 짝수 곱이어야 하므로 4 · 12 + 12 · 4 = 96. 답은 (C).

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