AMC 10 · 2020 · #22

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

floor-functiondivisibility-rulesdivisor-countmodular-arithmeticpattern-recognition complementary-countingpattern-recognitioncasework ↑ 선수 지식: floor-functiondivisor-count

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수 n ≤ 1000 중에서 합 S(n) = ⌊

\frac{998}{n}

⌋ + ⌊

\frac{999}{n}

⌋ + ⌊

\frac{1000}{n}

⌋ 이 3 의 배수가 아닌 n 의 개수를 구하세요. 여기서 ⌊ x ⌋ 은 x 이하의 가장 큰 정수.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 작은 n (1, 2, 7, 8, 9, …) 부터 손으로 계산해 "세 바닥값이 언제 달라지는지" 파악. 도구 #5(패턴): 999 나 1000 이 n 의 배수일 때만 바닥값이 "점프" 함 — 깔끔한 조건. 도구 #16(관점 바꾸기): 3 의 배수가 아닌 n 을 직접 세지 말고 "세 바닥값이 모두 같지 않은 n" 즉 999 또는 1000 의 약수만 세기. 도구 #2(빠짐없이 나열): 약수 목록을 만들어 합집합. 도구 #3(가능성 지우기): 규칙을 만족하지만 실제로는 3 의 배수가 되는 n=1 예외 제거.

1STEP 1

작은 n 확인: n = 7 은 세 바닥값 같아 합이 3 의 배수; n = 8 은 124, 124, 125 로 점프해 합 373 은 배수 아님.

n=7: 142+142+142 = 426 (÷ 3 ✓); n=8: 124+124+125 = 373 ( not ÷ 3); n=9: 110+111+111 = 332 ( not ÷ 3)

2STEP 2

999 = nq + r 로 두면 보통 세 바닥값 = q; n 이 999 또는 1000 을 나눌 때만 합이 3 의 배수를 벗어납니다.

S(n) ≢ 0 (mod 3) ⇔ n ∣ 999 또는 n ∣ 1000

3STEP 3

예외 n = 1: S(1) = 998 + 999 + 1000 = 2997 = 3 · 999 로 3 의 배수 — 둘 다 나눠도 제외됩니다.

n=1: S(1) = 2997 = 3 · 999 → 3 의 배수

4STEP 4

999 = 3³ · 37 이므로 약수 (3+1)(1+1) = 8 개; 1000 = 2³ · 5³ 이므로 약수 (3+1)(3+1) = 16 개.

d(999) = 8, d(1000) = 16

5STEP 5

포함-배제로 합집합은 8 + 16 - 1 = 23 개 (공통은 1 뿐); 깨진 n = 1 을 빼면 22 — 정답 (A).

답 = 8 + 16 - 1 - 1 = 22 → (A)

정답

답에 든 모든 n 은 자동으로 ≤ 1000 (999, 1000 의 약수). 점검: n=8 (1000 약수, 999 약수 아님): 합 = 373 = 3 · 124 + 1, 안 나눠짐. n=37 (999 약수, 1000 약수 아님): ⌊

\frac{998}{37}

⌋ = 26, ⌊

\frac{999}{37}

⌋ = 27, ⌊

\frac{1000}{37}

⌋ = 27, 합 = 80 = 3 · 27 - 1, 안 나눠짐. n=2 (1000 약수): 499 + 499 + 500 = 1498 = 3 · 499 + 1, 안 나눠짐. 답 22 = 7 + 15 (999 약수 중 1 제외 7 개 + 1000 약수 중 1 제외 15 개) 와 일치. 선택지 (B) 23 은 n=1 잊은 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 6학년 약수와 약수 개수만 있으면 풀려요 — 세 바닥값은 n 이 999 또는 1000 을 정확히 나눌 때만 다르고, 그 약수 개수(8 + 16 - 1 중복)에서 함정 n=1 을 빼면 22.

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