AMC 10 · 2020 · #3

학년 7 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
fraction-arithmeticpattern-recognitionpolynomial-factoring pattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
분모가 모두 0 이 아니라는 조건 아래에서, a−35−c\frac{a-3}{5-c} · b−43−a\frac{b-4}{3-a} · c−54−b\frac{c-5}{4-b} 의 간단한 형태를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
${-}1$
(B)
1
(C)
$\frac{abc}{60}$
(D)
$\frac{1}{abc} - \frac{1}{60}$
(E)
$\frac{1}{60} - \frac{1}{abc}$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

도구 #5(패턴 찾기): 모든 분자 (a-3), (b-4), (c-5) 가 어떤 분모 -(3-a), -(4-b), -(5-c) 의 부호 반대. 이 반복 구조 하나가 문제 전체. 도구 #15(다르게 정리하기) — 분수들의 짝을 다시 묶어 분자가 자기 자신의 부호 반대 위에 오게 정리: a−33−a\frac{a-3}{3-a} · b−44−b\frac{b-4}{4-b} · c−55−c\frac{c-5}{5-c}. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 더 빠른 안전길 — 쉬운 수 (a=b=c=0) 를 넣어 직접 계산. 도구 #3(가능성 지우기)으로 확정 — 결과가 a, b, c 와 무관한 상수여야 하므로 (C), (D), (E) 는 모두 탈락.

1STEP 1

각 분자는 어떤 분모의 부호 반대: (a-3) = -(3-a), 나머지도 같아요.

a - 3 = -(3 - a), b - 4 = -(4 - b), c - 5 = -(5 - c)
2STEP 2

곱셈 순서를 바꿔 각 분자를 자기 부호 반대인 분모와 다시 짝지어요.

a−35−c\frac{a-3}{5-c} · b−43−a\frac{b-4}{3-a} · c−54−b\frac{c-5}{4-b} = a−33−a\frac{a-3}{3-a} · b−44−b\frac{b-4}{4-b} · c−55−c\frac{c-5}{5-c}
3STEP 3

다시 짝지은 각 분수는 식−식\frac{식}{-식} = -1, 그래서 (-1)(-1)(-1) = -1 → (A).

(-1)(-1)(-1) = -1 → (A)
4STEP 4

a=b=c=0 대입: −35\frac{-3}{5} · −43\frac{-4}{3} · −54\frac{-5}{4} = −6060\frac{-60}{60} = -1.

−35\frac{-3}{5} · −43\frac{-4}{3} · −54\frac{-5}{4} = −6060\frac{-60}{60} = -1 → (A)
5STEP 5

(C)(D)(E) 는 abc 를 포함하지만 결과는 상수 → 제외; 부호 확인으로 (B) 아닌 (A).

결과가 상수 → 선택지는 (A) 또는 (B); 부호로 (A)
정답
-1
다른 세 수로 한 번 더 확인. a = 1, b = 1, c = 1: 곱 = −24\frac{-2}{4} · −32\frac{-3}{2} · −43\frac{-4}{3} = (−2)(−3)(−4)(4⋅2⋅3)\frac{(-2)(-3)(-4)}{(4 · 2 · 3)} = −2424\frac{-24}{24} = -1. 같은 답 — (A) 가 일관됨.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "부호 있는 수의 곱셈" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 분자가 한 분모의 부호 반대라 짝마다 -1, 셋을 곱하면 답은 -1 이에요!

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