AMC 10 · 2020 · #5

학년 8 arithmetic

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

|x² - 12x + 34| = 2 를 만족하는 모든 실수 x 의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 뼈대: |y| = 2 가 y = 2 와 y = -2 두 작은 식으로 갈라짐. 도구 #1(그림 그리기)이 두 경우를 한눈에 보이게 함 — x² - 12x + 34 = (x - 6)² - 2 로 바꾸면 꼭짓점 (6, -2) 의 위로 열린 포물선. 가로선 y = 2 는 x = 6 을 중심으로 대칭인 두 점에서 만나고, y = -2 는 꼭짓점에 딱 한 번 닿음. 도구 #5(패턴 찾기) — x = 6 대칭 덕분에 만나는 두 x 값의 평균이 6, 따라서 일일이 풀지 않고도 합을 구할 수 있음.

1STEP 1

완전제곱으로 정리: x² - 12x + 34 = (x - 6)² - 2.

x² - 12x + 34 = (x - 6)² - 2

2STEP 2

절댓값 2 는 두 경우로 갈라짐: (x - 6)² - 2 = 2 또는 (x - 6)² - 2 = -2.

(x - 6)² - 2 = 2 또는 (x - 6)² - 2 = -2

3STEP 3

경우 1: (x - 6)² = 4 → x = 4 또는 8, x = 6 대칭이라 합은 12.

(x - 6)² = 4 → x = 4 또는 8, 합 = 12

4STEP 4

경우 2: (x - 6)² = 0 은 유일한 해 x = 6 — 포물선 꼭짓점.

(x - 6)² = 0 → x = 6

5STEP 5

서로 다른 해를 더하면 4 + 8 + 6 = 18, 선택지 (C).

4 + 8 + 6 = 18 → (C)

정답

원식에 대입 확인. x = 4: 16 - 48 + 34 = 2, |2| = 2 ✓. x = 8: 64 - 96 + 34 = 2, |2| = 2 ✓. x = 6: 36 - 72 + 34 = -2, |-2| = 2 ✓. 세 해 모두 유효, 4 + 8 + 6 = 18 — (C) 와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "제곱근" 만 알면 풀 수 있어요 — (x - 6)² - 2 로 다시 쓰면 y = 2 쪽은 대칭으로 합 12, y = -2 쪽은 x = 6, 합쳐서 18 이에요!

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