AMC 10 · 2020 · #7

학년 6 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

sequences-arithmeticmean-median-mode-rangesystematic-enumeration identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

-10 부터 14 까지의 정수 25 개를 5 × 5 정사각형 격자에 한 번씩 배치해서 모든 행의 합, 모든 열의 합, 두 대각선의 합이 모두 같게 만들 수 있다. 이때 공통 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 개의 깔끔한 부분 문제로 분해. 부분 A: 25 개 수의 총합 구하기. 부분 B: 각 행이 같은 C 인데 5 행이 격자 전체를 채우므로 총합 = 5C. 도구 #7 로 두 조각을 드러내고, 도구 #9 (더 쉬운 문제)로 -10 과 10, -9 와 9 … 식으로 짝을 지어 한 번에 합을 정리. 도구 #3 으로 보기 중 하나를 골라냄.

1STEP 1

각 수를 음수 짝과 묶으면 -10~10 은 0 으로 상쇄되고 11, 12, 13, 14 만 남음.

(-10) + (-9) + … + 9 + 10 = 0

2STEP 2

남은 네 양수를 더하면 50.

11 + 12 + 13 + 14 = 50

3STEP 3

25 개 수의 합은 50, 5 행이 격자를 덮으므로 행 합 다섯 개를 더하면 총합과 같아 5C = 50.

총합 = 5C = 50

4STEP 4

양변을 5 로 나누면 C = 10.

C =

\frac{50}{5}

= 10

5STEP 5

C = 10 은 (C). 열·대각선 조건은 배치만 제약할 뿐 공통 합 값은 바뀌지 않음.

C = 10 → (C)

정답

평균으로도 확인. 25 개 수의 평균은

\frac{50}{25}

= 2, 한 행에 5 개의 수가 들어가므로 행 합 ≈ 5 · 2 = 10. 일치. -10…14 의 수치 중심도

\frac{-10 + 14}{2}

= 2 이므로 5 · 2 = 10 은 균형 잡힌 행에서 자연스럽게 나오는 값.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 '음수와 양수 상쇄'와 균등 분할만 알면 풀 수 있어요 — 25 개 수의 합이 50, 다섯 행 합이 모두 C 라 5C = 50 이고 C = 10.

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