AMC 10 · 2020 · #8

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

pattern-recognitionsequences-arithmeticmental-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 - 8 + … + 197 + 198 + 199 - 200 의 값을 구하시오. 세 개를 더하고 하나를 빼는 패턴이 200 까지 반복된다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

9,800

(B)

9,900

(C)

10,000

(D)

10,100

(E)

10,200

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

부호 패턴이 4 항마다 반복 — 도구 #5: 반복 단위로 묶고 각 블록의 합을 정리. 도구 #7 로 전체식을 50 개 블록 합으로 분해, 다시 2, 10, 18, … 등차수열의 합으로 정리. 도구 #9 (더 쉬운 문제) 로 블록 1, 2, 3 만 먼저 검증 후 50 개로 확장. 변수를 도입하지 않고 끝낼 수 있는 조합.

1STEP 1

200 개 항을 네 개씩 묶으면 $\frac{200}{4}$ = 50 블록.

(1+2+3-4)_블록 1 + (5+6+7-8)_블록 2 + … + (197+198+199-200)_블록 50

2STEP 2

처음 몇 블록을 계산해 패턴 확인 — 블록 값이 2, 10, 18 로 시작.

1+2+3-4 = 2, 5+6+7-8 = 10, 9+10+11-12 = 18

3STEP 3

블록 값은 매번 8 씩 커지고, 마지막 블록(k = 50)은 197+198+199-200 = 394.

블록 k 의 값 = 8k - 6, 블록 50 = 8 · 50 - 6 = 394

4STEP 4

50 개 블록 값을 양 끝에서 짝지으면 각 짝의 합이 2 + 394 = 396, 짝은 25 개.

S =

\frac{50}{2}

· (2 + 394) = 25 · 396

5STEP 5

396 = 400 - 4 로 쪼개면 25 · 396 = 25 · 400 - 25 · 4 = 10,000 - 100 = 9,900.

25 · 396 = 25 · 400 - 25 · 4 = 10000 - 100 = 9900

6STEP 6

9,900 은 (B).

9,900 → (B)

정답

9,900

다른 묶음으로 빠르게 확인. 전체식 = (1 + 2 + … + 200) - 2 · (4 + 8 + 12 + … + 200) — 4 의 배수만 부호가 반대라 두 배만큼 빠짐. Σ₁²⁰⁰ =

\frac{200 · 201}{2}

= 20100. 200 이하 4 의 배수는 50 개, 합 = 4 · (1 + 2 + … + 50) = 4 · 1275 = 5100. 따라서 20100 - 2 · 5100 = 20100 - 10200 = 9900. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — 4 항씩 묶으면 (1+2+3-4) = 2, (5+6+7-8) = 10, (9+10+11-12) = 18 … 매번 8 씩 커지는 등차 수열이고, 50 개 블록 합(마지막은 394) 을 더하면 9,900.

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