AMC 10 · 2020 · #11

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

combinations-basicprobability-basicfraction-arithmetic easier-related-problemidentify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicprobability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

도서 목록에 책이 10 권 있습니다. Harold는 그 중 5 권을 무작위로 고르고, Betty도 따로 5 권을 무작위로 고릅니다. 두 사람이 고른 책 중 정확히 2 권이 겹칠 확률은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{8}$

(B)

$\frac{5}{36}$

(C)

$\frac{14}{45}$

(D)

$\frac{25}{63}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 대칭성 덕분에 Harold의 5 권을 고정해 놓고 Betty의 선택만 신경 쓰면 됨 — 답은 Harold가 정확히 어떤 5 권을 골랐는지에 무관. 도구 #7(쪼개기): Betty의 선택을 'Harold의 5 권 중 2 권'과 '나머지 5 권 중 3 권' 두 독립 부분 카운트로 나누고 곱하기. 도구 #3(가능성 지우기): 약분한 분수를 선택지와 매칭.

1STEP 1

대칭성으로 Harold의 5 권을 그룹 H, 나머지 5 권을 그룹 N으로 고정 — 어떤 책인지는 무관.

|H| = 5, |N| = 5

2STEP 2

Betty가 10 권 중 5 권을 고르는 전체 경우가 분모: 252 가지.

C(10, 5) = 252

3STEP 3

성공: Betty가 H에서 2 권, N에서 3 권 — 독립이므로 곱해 100 가지.

C(5, 2) · C(5, 3) = 10 · 10 = 100

4STEP 4

$\frac{100}{252}$ 을 만들고 4 로 약분하면 확률은 $\frac{25}{63}$ .

\frac{100}{252} = \frac{25}{63}

5STEP 5

선택지 (D)만 $\frac{25}{63}$ ; 나머지 분모는 252 에서 나올 수 없음.

\frac{25}{63}

→ (D)

정답

\frac{25}{63}

\frac{25}{63}

≈ 0.397 — 0, 1, 2, 3, 4, 5 권 공유 중 가장 큰 확률. 평균적으로 Betty의 5 권은 Harold의 5 권과

\frac{(5 · 5)}{10}

= 2.5 권 공유하므로 '정확히 2 권'이 가장 흔한 결과인 것이 자연스러움.

\frac{2}{5}

에 가까운 값도 직관과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! Harold의 5 권을 고정해 두고 '"Betty의 5 권 중 정확히 2 권이 Harold의 5 권과 겹칠 확률"'을 묻기. Betty는 Harold의 5 권에서 2 권(C(5, 2) = 10 가지)과 나머지 5 권에서 3 권(C(5, 3) = 10 가지)을 골라야 하니까 10 · 10 = 100 가지. 전체 C(10, 5) = 252 가지로 나누고 약분: $\frac{100}{252} = \frac{25}{63}$ , 답 (D).

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