AMC 10 · 2020 · #13

학년 6 rate-ratio

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Coordinate Spiral Position

coordinate-geometrypattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: coordinate-geometrysequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

개미 Andy가 (-20, 20) 에서 동쪽을 보고 출발합니다. 1 칸 가고 왼쪽으로 90° 회전, 2 칸 가고 회전, 3 칸 가고 회전 — 이렇게 매번 이동 거리를 1 씩 늘리며 왼쪽으로만 도는 산책을 합니다. 2020 번째 왼쪽 회전을 하는 지점의 좌표는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(-1030, -994)

(B)

(-1030, -990)

(C)

(-1026, -994)

(D)

(-1026, -990)

(E)

(-1022, -994)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #1(그림): 처음 몇 번 이동을 모눈종이에 그려 바깥쪽 나선과 동-북-서-남 순환을 시각화. 도구 #5(패턴): 연속한 4 번 이동이 한 방향 사이클을 이룸 — 그 블록의 순 변위를 살피기. 도구 #7(쪼개기): x 변화와 y 변화를 분리해 각각 합산. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 좌표를 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

(-20, 20) 에서 1–4 이동을 그리기: 동·북·서·남 — 4 이동 후 시작점 대비 (-2, -2), 바깥으로 도는 나선.

(-20, 20) → (-19, 20) → (-19, 22) → (-22, 22) → (-22, 18)

2STEP 2

연속한 4 이동마다 동·북·서·남 순환을 반복: 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4 이동이 (k+1) 번째 블록.

블록 k: (동 4k+1, 북 4k+2, 서 4k+3, 남 4k+4)

3STEP 3

동(4k+1) − 서(4k+3) = Δx -2, 북 − 남 = Δy -2. k 와 무관하게 매 4 이동 블록은 (-2, -2) 만큼 이동.

Δ x_블록 = -2, Δ y_블록 = -2

4STEP 4

2020 번째 회전 = 2020 이동의 끝, 2020 = 4 · 505 이므로 505 개 완전 블록, 총 변위 (-1010, -1010).

2020 ÷ 4 = 505 → 총 이동 = 505 · (-2, -2) = (-1010, -1010)

5STEP 5

출발점에 변위를 더하기: (-20, 20) + (-1010, -1010) = (-1030, -990).

(-20, 20) + (-1010, -1010) = (-1030, -990)

6STEP 6

(-1030, -990) = (B). 매 4 번째 모서리가 지키는 불변량 y - x = 40 을 만족하는 선택지는 (B)뿐.

(-1030, -990) → (B)

정답

(-1030, -990)

4 이동마다 순 이동 (-2, -2) — 평균적으로 한 이동당

\frac{1}{2}

칸씩 남서로. 2020 이동이면 약 1010 칸씩 두 방향, 즉 (-1030, -990) 부근에 도달 — 자릿수와 정확히 일치. 또한 y - x = 40 불변량으로 다섯 중 네 선택지를 즉시 배제 가능.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 부호 있는 좌표만 알면 풀 수 있어요! 4 이동마다 Andy는 동·북·서·남으로 가는데, 동-서 쌍은 x 에서 -2, 북-남 쌍은 y 에서 -2 — 길이가 아무리 커도 상쇄. 2020 = 4 · 505 이동이면 505 개 블록, 총 변위 (-1010, -1010). (-20, 20) 에서 (-1030, -990) 에 도착, 답 (B).

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