AMC 10 · 2020 · #19

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesmodular-arithmeticdigit-constraintscombinations-basic identify-subproblemscaseworkpattern-recognition ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmodular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 사람이 52 장 덱에서 카드 10 장을 받습니다. 받을 수 있는 서로 다른 손패의 수는 C(52, 10). 이 수를 십진수로 쓰면 11 자리 수 158A00A4AA0 인데, A 로 표시된 자리는 모두 같은 한 숫자. A 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (쪼개기): C(52, 10) 은 분자에 10 개 인수, 분모 10! — 약분을 몇 단계로 나눠 작게 만든다. 도구 #3 (지우기): 후보 5 개뿐이라 9 의 배수 (자릿수 합) 같은 단순 정수 검사로 한 번에 좁힘. 도구 #5 (패턴): 자릿수 합 18 + 4A 가 A 마다 모듈로 9 잔차가 다르므로 한 가지 정합 검사로 답을 고정.

1STEP 1

C(52, 10) 을 내림차순 열 인수 ÷ 10! 로 쓰고 10! 의 작은 인수를 분자와 약분하면 남는 분모는 252.

C(52, 10) =

\frac{52 · 51 · 5 · 49 · 6 · 47 · 46 · 1 · 11 · 43}{7 · 6 · 3 · 2}

2STEP 2

252 를 약분(51=3·17, 49=7·7, 52=2·26)하면 26 · 17 · 5 · 7 · 47 · 46 · 11 · 43 만 남음.

C(52, 10) = 26 · 17 · 5 · 7 · 47 · 46 · 11 · 43

3STEP 3

여덟 번 이어 곱하면(26·17=442 → … → ·43) C(52, 10) = 15,820,024,220.

C(52, 10) = 15,820,024,220

4STEP 4

15,820,024,220 을 158A00A4AA0 에 자리별로 맞추면 모든 A 자리가 같은 값, A = 2 (선택지 A).

15,820,024,220 ⇔ 15820024220 → A = 2

5STEP 5

9 배수 검사: 템플릿 자릿수 합은 18 + 4A, 계산값 자릿수 합 26 = 18 + 4·2 로 A = 2 와 일치.

자릿수 합 = 18 + 4A, A = 2 → 26 ✓

정답

계산값 C(52, 10) = 15,820,024,220 은 11 자리 — 템플릿 158A00A4AA0 의 자리 수와 일치. A 자리 모두 2 로 풀리고, 자릿수 합 교차 검사 (A = 2 일 때 26) 도 일치. 답 A = 2, 선택지 (A).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 6학년 때 배운 약분 후 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — C(52, 10) 의 분자에서 10! 인수들을 약분한 다음 곱하면 15,820,024,220. 158A00A4AA0 에 맞춰 보면 모든 A 가 2. 답은 (A).

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