AMC 10 · 2020 · #22

학년 8 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

polynomial-factoringsimons-favorite-factoring-trickmodular-arithmeticexponentsdifference-of-squares easier-related-problempattern-recognitionpolynomial-substitution ↑ 선수 지식: polynomial-factoringexponents

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

거대한 수 2²⁰² + 202 를 2¹⁰¹ + 2⁵¹ + 1 로 나눈 나머지는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

101

(C)

200

(D)

201

(E)

202

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 2⁵⁰ 을 변수 x 로 치환. 제수는 2x² + 2x + 1, 피제수는 4x⁴ + 202 — 훨씬 다루기 쉬움. 도구 #5(패턴): Sophie Germain 류 항등식 4x⁴ + 1 = (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1) 포착. 도구 #7(쪼개기): 2²⁰² + 202 = (2²⁰² + 1) + 201 로 나누고 첫 조각은 항등식으로 처리. 도구 #13(대수): 항등식이 엔진. 도구 #3(가능성 지우기): 202 = 1 + 201 의 분리가 선택지 (D) 와 직접 매치.

1STEP 1

x = 2⁵⁰ 치환: 제수는 N = 2x² + 2x + 1, 피제수 2²⁰² + 202 = 4x⁴ + 202.

x = 2⁵⁰: N = 2x² + 2x + 1, 피제수 = 4x⁴ + 202

2STEP 2

Sophie Germain 항등식: 4x⁴ + 1 = (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1).

4x⁴ + 1 = (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1)

3STEP 3

따라서 4x⁴ + 1 = N · (2x² - 2x + 1) — N 이 4x⁴ + 1 을 정확히 나눔, 나머지 0.

4x⁴ + 1 ≡ 0 (mod N)

4STEP 4

피제수 분리: 4x⁴ + 202 = (4x⁴ + 1) + 201; 첫 조각은 0이므로 4x⁴ + 202 ≡ 201 (mod N).

4x⁴ + 202 ≡ 201 (mod N)

5STEP 5

N = 2¹⁰¹ + 2⁵¹ + 1 은 201 보다 천문학적으로 크므로 나머지는 201 — 답 (D).

r = 201 → (D)

정답

201

분리 202 = 1 + 201 이 결정적 — 2²⁰² + 100 이면 답이 99, +202 이면 201. 작은 사례 확인: x = 2 일 때 4x⁴ + 1 = 65 = 13 · 5 = (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1) ✓. 큰 사례도 같은 항등식, x = 2⁵⁰ 일 뿐.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년의 "차의 제곱" 인수분해만 알면 풀려요 — x = 2⁵⁰ 치환으로 거대 지수를 작은 다항식 4x⁴ + 1 = (2x² + 2x + 1)(2x² - 2x + 1) 로 줄이면, 2²⁰² + 202 = (2²⁰² + 1) + 201 에서 나머지 201 이 바로 보입니다.

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