AMC 10 · 2020 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

floor-functionbound-inequality-then-enumeratedivisibility-rulesperfect-squares convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: floor-functiondivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

\frac{n + 1000}{70}

= ⌊ √(n) ⌋ (⌊ x ⌋ 은 x 를 넘지 않는 최대 정수) 를 만족하는 양의 정수 n 의 개수는?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13(대수): k = ⌊ √(n) ⌋ 도입해 n = 70k - 1000. 도구 #7(쪼개기): 마루 조건 k² ≤ n ＜ (k+1)² 가 두 이차부등식으로 분리. 도구 #6(추측·확인): 후보 k 각각 원식에 대입 검증. 도구 #2(나열): 두 부등식 동시 만족 정수 k 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 범위 밖, n ≤ 0 후보 제거.

1STEP 1

k = ⌊ √(n) ⌋ 두기. 양변이 정수라 $\frac{n + 1000}{70}$ = k 에서 n = 70k - 1000.

k = ⌊ √(n) ⌋, n = 70k - 1000

2STEP 2

n = 70k - 1000 을 마루 정의 k² ≤ n ＜ (k+1)² 에 대입: k² ≤ 70k - 1000 ＜ k² + 2k + 1.

k² ≤ 70k - 1000 ＜ k² + 2k + 1

3STEP 3

왼쪽 k² - 70k + 1000 ≤ 0 의 근은 $\frac{70 ± 30}{2}$ = 20, 50, 따라서 20 ≤ k ≤ 50.

k² - 70k + 1000 ≤ 0 ⇔ 20 ≤ k ≤ 50

4STEP 4

오른쪽 k² - 68k + 1001 ＞ 0 의 근은 ≈ 21.55, 46.45, 따라서 k ≤ 21 또는 k ≥ 47.

k² - 68k + 1001 ＞ 0 ⇔ k ≤ 21 또는 k ≥ 47

5STEP 5

20 ≤ k ≤ 50 과 (k ≤ 21 또는 k ≥ 47) 의 교집합은 k ∈ {20, 21, 47, 48, 49, 50}.

k ∈ {20, 21, 47, 48, 49, 50}

6STEP 6

각 k 로 n = 70k - 1000 ＞ 0 이고 마루도 일치: n ∈ {400, 470, 2290, 2360, 2430, 2500}.

n ∈ {400, 470, 2290, 2360, 2430, 2500}

7STEP 7

6 개 모두 방정식을 만족하니 개수는 6 — 답 (C).

#{n} = 6 → (C)

정답

감각 점검. 왼쪽 부등식의 두 근 k = 20, 50 근처에서만 해가 모임. k = 20: n = 400 = 20² 정확 일치. k = 50: n = 2500 = 50² 도 정확. 각 끝에서 약간 안쪽으로 k 가 더 들어갈 수 있음 — 오른쪽 부등식이 막기 전까지. 중간 범위 22 ≤ k ≤ 46 은 오른쪽 부등식 실패: (k+1)² - k² = 2k + 1 이 좁아서 70k - 1000 - k² 가 그 안에 못 들어감. 6 개 — 답 (C).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 8학년 부등식만 알면 풀려요 — k = ⌊ √(n) ⌋ 치환으로 n = 70k - 1000, 마루 정의 k² ≤ n ＜ (k+1)² 에 넣어 이차부등식 두 개 풀고 교집합: k ∈ {20, 21, 47, 48, 49, 50} — 6 개.

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