AMC 10 · 2020 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

angle-sum-triangleprime-numbersprimality-test guess-and-checksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersangle-sum-triangle

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직각삼각형의 두 예각이 a° 와 b° 이고 a ＞ b, 둘 다 소수일 때 b 의 최솟값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

도구 #3(가능성 지우기): 선택지가 다섯 개뿐. 작은 값부터 차례로 "90 - b 가 소수인가?" 만 확인하면 가장 먼저 성공하는 값이 답. 도구 #6(추측하고 확인하기): 최솟값을 찾으니 작은 것부터. 도구 #16(관점 바꾸기): "b 가 소수인가?" 는 이미 선택지가 다 소수이므로, 질문을 "90 - b 도 소수인가?" 로 옮기면 한 번의 소수 판정으로 결판.

1STEP 1

삼각형 세 각의 합 180°에서 직각 90°를 빼면 두 예각은 a + b = 90.

a + b = 90

2STEP 2

b = 2 → a = 88 = 8 × 11 은 합성수라 탈락.

b = 2 → a = 88 (합성수) ✗

3STEP 3

b = 3 → a = 87 = 3 × 29 은 합성수라 탈락.

b = 3 → a = 87 = 3 · 29 ✗

4STEP 4

b = 5 → a = 85 = 5 × 17 은 합성수라 탈락.

b = 5 → a = 85 = 5 · 17 ✗

5STEP 5

b = 7 → a = 83 은 소수이고 83 ＞ 7 — 성립하는 가장 작은 값.

b = 7 → a = 83 소수 ✓ → (D)

정답

83 + 7 = 90 으로 각의 합이 맞고, 둘 다 소수이며 83 ＞ 7. b = 2, 3, 5 는 모두 a 가 합성수가 되어 탈락했으므로 7 이 진짜 최솟값.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "삼각형 내각의 합은 180°" 와 간단한 소수 판정만 알면 풀 수 있어요 — b = 2, 3, 5, 7 을 순서대로 시도하면 b = 7 이 짝(소수 83)을 만나는 첫 값이에요!

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