AMC 10 · 2020 · #5

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

permutations-basiccombinations-basic identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: combinations-basicfactorial

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

갈색 1 장, 보라색 1 장, 똑같은 초록색 2 장, 똑같은 노란색 3 장 — 총 7 장의 타일을 한 줄로 늘어놓을 때 구분 가능한 배열의 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

210

(B)

420

(C)

630

(D)

840

(E)

1050

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): 색을 한 가지씩 차례로 자리에 배치 — 먼저 노란 3 장의 자리를 정한 뒤, 남은 자리에 초록 2 장, 마지막 남는 두 자리에 갈색·보라. 세 단계의 가짓수를 곱하면 전체 답. 도구 #9(더 쉬운 문제): "3 자리에 노란 2 장 놓기" 같은 작은 예부터 직접 나열하면 3 가지(YYS, YSY, SYY) 임을 보고 "자리 고르기" 임을 깨달음. 도구 #2(빠짐없이 나열): 각 단계에서 자리 부분집합을 작은 번호부터 차례로 나열하면 빠짐 없이 셀 수 있음.

1STEP 1

쪼개기 1: 노란 3 장 놓기. 작은 예 — 3 자리에 노란 2 장은 3 가지 — 순서가 아니라 자리 고르기가 핵심.

작은 예: 3 가지 → 가짓수 = C(n, k)

2STEP 2

7 자리에서 크기 3 부분집합을 작은 번호부터 나열하면 {1,2,3}, …, {5,6,7} 의 35 개, 곧 C(7, 3).

C(7, 3) =

\frac{7 · 6 · 5}{3 · 2 · 1}

= 35

3STEP 3

쪼개기 2: 남은 4 자리 중 초록 2 장의 자리를 고르면 C(4, 2) = 6.

C(4, 2) =

\frac{4 · 3}{2 · 1}

= 6

4STEP 4

쪼개기 3: 남은 2 자리에 서로 다른 갈색·보라 — 순서가 둘이니 2 가지.

2! = 2 · 1 = 2

5STEP 5

세 단계의 독립적 가짓수를 곱하면 35 × 6 × 2 = 420.

35 × 6 × 2 = 35 × 12 = 420 → (B)

정답

420

중복 있는 배열의 공식으로도 확인:

\frac{7!}{3! · 2!}

\frac{5040}{12}

= 420. 같은 답. 또 420 이 선택지 중간쯤이라 "유일한 타일이 둘뿐인 만큼 너무 많지도 적지도 않은" 느낌과도 부합.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "빠짐없이 나열해서 자리 고르기" 만 알면 풀 수 있어요 — 노란 자리 35, 초록 자리 6, 갈색·보라 2 를 곱해 35 × 6 × 2 = 420 이에요!

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