AMC 10 · 2021 · #10

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

difference-of-squaresexponentspattern-recognitiontelescoping-sum pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: difference-of-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

긴 곱 (2 + 3)(2² + 3²)(2⁴ + 3⁴)(2⁸ + 3⁸)(2¹⁶ + 3¹⁶)(2³² + 3³²)(2⁶⁴ + 3⁶⁴) 을 정리하세요. 지수는 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 — 차례로 2 의 거듭제곱입니다. 결과를 다섯 보기 중 하나와 같은 깔끔한 형태로 쓰세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~3^{127} + 2^{127}$

(B)

$~3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63} + 3 \cdot 2^{63}$

(C)

$~3^{128}-2^{128}$

(D)

$~3^{128} + 2^{128}$

(E)

$~5^{127}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 인수 2 개, 3 개짜리 짧은 곱부터 시도. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 단계 지수가 두 배가 되는 규칙을 발견. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 엔진 — (a - b)(a + b) = a² - b². 도구 #3(가능성 지우기)으로 지수가 틀린 보기와 부호가 틀린 보기를 차례로 탈락.

1STEP 1

인수 2 개로 연습: 앞에 (3 − 2) = 1 을 끼우고 제곱의 차를 두 번 쓰면 (3+2)(3²+2²) 이 3⁴ - 2⁴ 로.

(3 + 2)(3² + 2²) = (3 - 2)(3 + 2)(3² + 2²) = (3² - 2²)(3² + 2²) = 3⁴ - 2⁴

2STEP 2

패턴: 인수 n 개는 3²ⁿ − 2²ⁿ 로. n = 3 확인 — (3+2)(3²+2²)(3⁴+2⁴) 는 3⁸ - 2⁸.

n 인수 → 3²ⁿ - 2²ⁿ (앞에 (3-2) = 1 을 끼운 뒤)

3STEP 3

7 인수 전체에 적용: 앞에 (3 − 2) = 1 을 끼우고 제곱의 차를 이어 지수를 두 배씩 키우면 3¹²⁸ - 2¹²⁸.

(3-2)(3+2) = 3² - 2² → 3⁴ - 2⁴ → 3⁸ - 2⁸ → 3¹⁶ - 2¹⁶ → 3³² - 2³² → 3⁶⁴ - 2⁶⁴ → 3¹²⁸ - 2¹²⁸

4STEP 4

개수 확인: 인수 7 개 → 지수를 1 에서 7 번 두 배, 2⁷ = 128 이 최종 지수 — 127 제곱이 아님.

1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 (일곱 번)

5STEP 5

보기와 대조: (C) 만 일치 — 사슬은 차를 만들어 합 형태 (A)(B)(D) 탈락, (E) 는 3² + 2² = 13 ≠ 5² 라 탈락.

3¹²⁸ - 2¹²⁸ → (C)

정답

~3¹²⁸-2¹²⁸

두 갈래 검산. 첫째: 지수 추적. 인수 7 개의 지수 합 1+2+4+…+64 = 127 이 (A) 의 함정이지만, 정답 규칙은 합이 아니라 가장 큰 지수의 두 배 — 128 이라 (C). 둘째: 부호. 제곱의 차 사슬은 항상 차를 만들기 때문에 합 형태 (D) 는 불가. (E) 는 (3² + 2²) = 13 ≠ 5² = 25 라 거짓.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 지수 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 앞에 (3 - 2) = 1 을 슬쩍 끼우고, (a - b)(a + b) = a² - b² 를 한 번 쓸 때마다 지수가 두 배. 일곱 번 두 배로 1 → 128, 답 3¹²⁸ - 2¹²⁸.

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