AMC 10 · 2021 · #11

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

modular-arithmeticplace-valuedivisibility-rulespolynomial-factoring identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

2021_b 와 221_b 를 b 진법 수로 볼 때, b ∈ {3, 4, 6, 7, 8} 중 어떤 값을 넣어야 2021_b - 221_b 가 3 의 배수가 "안 되는지" 묻는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다: (a) 각 b 진법 수를 b 에 대한 다항식으로 풀어 쓰기, (b) 빼고 나서 인수분해. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 한 밑 b = 3 을 손으로 확인해서 식이 맞는지 점검하는 안전망. 그 뒤 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지를 정리된 식에 차례로 대입하고, 도구 #6(추측·확인)으로 3 으로 나누어 떨어지는지만 읽으면 됩니다. 자리값 풀어쓰기 이상의 대수는 필요 없습니다.

1STEP 1

자리값으로 풀면 2021_b = 2b³ + 2b + 1, 221_b = 2b² + 2b + 1.

2021_b = 2b³ + 2b + 1, 221_b = 2b² + 2b + 1

2STEP 2

빼면 +2b, +1 이 지워지고 2021_b - 221_b = 2b³ - 2b² 만 남습니다.

2021_b - 221_b = (2b³ + 2b + 1) - (2b² + 2b + 1) = 2b³ - 2b²

3STEP 3

공통 인수 2b² 를 묶으면 2b³ - 2b² = 2b²(b - 1) — 약수 구조가 한눈에 보입니다.

2b³ - 2b² = 2b²(b - 1)

4STEP 4

2 는 3 과 서로소라 2b²(b-1) 은 b ≡ 0 또는 1 (mod 3) 일 때만 3 의 배수입니다.

3 ∣ 2b²(b-1) ⇔ b ≡ 0 또는 1 (mod 3)

5STEP 5

선택지를 3 으로 나눈 나머지로 분류: 3, 6 ≡ 0; 4, 7 ≡ 1; 8 ≡ 2 뿐이라 차가 3 의 배수가 아닌 밑은 8.

3, 6 ≡ 0; 4, 7 ≡ 1; 8 ≡ 2 (mod 3)

6STEP 6

b = 8 을 직접 대입: 2 · 8² · 7 = 896, 896 ÷ 3 은 나머지 2 — 정수가 아니므로 (E) 확정.

b = 8: 2 · 8² · 7 = 896, 896 mod 3 = 2 → (E)

정답

다른 "좋은" 밑도 함께 점검. b = 4: 2 · 16 · 3 = 96 = 3 · 32 — 3 의 배수. b = 6: 2 · 36 · 5 = 360 = 3 · 120 — 3 의 배수. 다섯 선택지 중 실패하는 것은 b = 8 뿐, (E) 가 자연스러움. 구조도 직관과 맞음: (b-1) 인수가 있으니 b 가 3 으로 나눠 1 남으면 자동으로 3 의 배수, b² 인수가 b ≡ 0 경우를 잡아줌.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 자리값과 인수분해만 알면 풀 수 있어요! 2021_b - 221_b = 2b²(b-1) 로 정리하면, 질문은 그냥 "어떤 b 가 3 의 배수가 아닌가?" — 3, 4, 6, 7, 8 을 3 으로 나눈 나머지로 분류하면 됩니다. 나머지 2 가 나오는 건 8 뿐이라서 답은 (E).

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