AMC 10 · 2021 · #14

학년 8 algebra

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vieta-formulassystematic-enumerationpolynomial-factoringfactors systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: vieta-formulas

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다항식 P(z) = z⁶ - 10z⁵ + Az⁴ + Bz³ + Cz² + Dz + 16 의 여섯 근이 모두 양의 정수(중복 허용)입니다. B 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}88$

(B)

${-}80$

(C)

${-}64$

(D)

${-}41$

(E)

${-}40$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2(나열): 여섯 양의 정수가 합 10, 곱 16 = 2⁴ 라는 강한 두 조건 — 후보 다중집합이 아주 적습니다. 등장 가능한 값은 2 의 거듭제곱(과 1)뿐, 체계적으로 나열하면 다중집합은 {2, 2, 2, 2, 1, 1} 로 결정. 도구 #7(쪼개기)은 "비에트로 B 와 대칭합 연결 → 근 찾기 → 경우별 세 근 곱 계산" 으로 분할. 도구 #6(추측·확인)은 후보 다중집합이 두 조건을 만족시키는지 점검. 도구 #3(가능성 지우기)으로 B = -88 을 선택지 (A) 에 매칭.

1STEP 1

비에트로 근의 합 10, 곱 16, 그리고 B = -e₃ (세 근 곱들의 합의 음수).

Σ r_i = 10, Π r_i = 16, B = - Σ₁ ≤ i ＜ j ＜ k ≤ 6 r_i r_j r_k

2STEP 2

각 근은 16 의 약수이고 4 이상이면 합이 10 을 넘으니, 모든 근이 1 아니면 2.

r_i ∈ {1, 2, 4, 8, 16}, r_i ≥ 4 → Σ r_i ＞ 10

3STEP 3

x + y = 6, 2x + y = 10 을 풀면 2 가 네 개, 1 이 두 개 — 근은 {2, 2, 2, 2, 1, 1}.

x + y = 6 ; 2x + y = 10 → x = 4, y = 2

4STEP 4

세 근 곱을 경우별로 셈. 2 가 세 개: C(4, 3) 짝 × 8 = 32.

경우 A: C(4, 3) · (2· 2· 2) = 4 · 8 = 32

5STEP 5

2 두 개·1 한 개: 6·2 짝 × 4 = 48. 2 한 개·1 두 개: 4 짝 × 2 = 8.

B: C(4, 2)C(2, 1) · 4 = 48, C: C(4, 1)C(2, 2) · 2 = 8

6STEP 6

경우별 합 e₃ = 32 + 48 + 8 = 88, 따라서 B = -e₃ = -88.

e₃ = 32 + 48 + 8 = 88, B = -88

7STEP 7

선택지 -88, -80, -64, -41, -40 중 -88 만 일치 — 답 (A).

B = -88 → (A)

정답

-88

P(z) = (z-1)²(z-2)⁴ 로 검산. z⁵ 의 계수: 근의 합이 10 이므로 -10 ✓. 상수항: (-1)⁶ · 1² · 2⁴ = 16 ✓. 비에트 값 -88 의 부호와 크기 모두 직관에 맞음 ("네 개의 2" 가 들어가는 세 짝 곱이 다수이므로 |e₃| 이 두 자리 후반대로 클 만함). 위 경우 분석이 실제 증명.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 연립방정식과 기본 경우의 수만 알면 풀 수 있어요! 근들의 합이 10, 곱이 16 이라 가능한 근은 2 가 네 개, 1 이 두 개뿐. 세 근 곱을 경우별로 세면 (C(4, 3) · 8 = 32, C(4, 2)C(2, 1) · 4 = 48, C(4, 1)C(2, 2) · 2 = 8) 합이 88, 따라서 B = -88, 답 (A).

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