AMC 10 · 2021 · #15

학년 8 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

systematic-enumerationcombinations-basicsymmetry-argumentfunction-evaluation caseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

{1, 2, 3, 4, 5, 6} 에서 서로 다른 네 값을 골라 A, B, C, D 에 배정합니다. 두 포물선 y = Ax² + B 와 y = Cx² + D 를 만듭니다. 두 곡선의 순서는 따지지 않습니다 ((A,B) ⇔ (C,D) 교환은 같은 경우). 두 포물선이 "교차하는" 배정의 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

180

(E)

360

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 같은 대칭축을 갖는 위로 열린 두 포물선을 그려 봅니다. 큰 A 가 "좁은" 포물선. 같은 축을 공유하는 두 포물선이 만나지 "않는" 것은 하나가 다른 하나 위에 완전히 떠 있을 때 — 즉 좁은 쪽(A 가 큼)이 상수항(B) 도 큼. 따라서 "교차한다" ⇔ 좁은 포물선이 더 "낮게" 시작. 도구 #7(쪼개기): (a) 비순서 곡선쌍의 총수, (b) 그 중 교차하는 비율. 도구 #16(관점 바꾸기): 비교차쌍을 세어 빼는 보수 셈, 또는 "정확히 절반" 대칭 논증. 도구 #2(나열)로 작은 4-집합 위에서 대칭 논증 검증.

1STEP 1

두 포물선을 같게 두면 (A - C)x² = D - B, x² ≥ 0 필요 → 교차 조건 (A - C)(B - D) ＜ 0.

교차 ⇔ (A - C)(B - D) ＜ 0

2STEP 2

같은 축의 위로 열린 두 포물선: 좁은 쪽(A 큼)이 더 높으면(B 큼) 안 만나고, 좁은 쪽이 더 낮게 시작하면 교차.

교차 ⇔ (A ＞ C 이고 B ＜ D) 또는 (A ＜ C 이고 B ＞ D)

3STEP 3

모든 비순서 곡선쌍 세기: C(6,4)=15 부분집합, 각 4-집합당 12 쌍 → 총 15 · 12 = 180 쌍.

총수 = C(6, 4) · (C(4, 2))/2 · 2 · 2 = 15 · 12 = 180

4STEP 4

두 상수 교환(B ⇔ D)하면 (A - C)(B - D) 가 부호 반대가 되어 부호 반전 — 교차쌍과 비교차쌍이 1-대-1 대응.

B ⇔ D: (A - C)(B - D) ↦ -(A - C)(B - D)

5STEP 5

1-대-1 대응이므로 180 을 반반으로 나눠 90 교차, 90 비교차.

교차 =

\frac{180}{2}

= 90

6STEP 6

검산 {1, 2, 3, 4}: 12 비순서 곡선쌍을 부호 규칙으로 거르면 12 중 6 교차 — 반반과 일치.

{1,2,3,4}: 12 쌍, 6 교차

7STEP 7

90 은 (C); 30·60 은 너무 적고, 180 은 교차 필터 전, 360 은 곡선 교환 전.

90 → (C)

정답

90 은 비순서 곡선쌍 총수 180 의 정확히 절반 — 교차 조건이 (A-C)(B-D) 의 부호로만 결정되므로 "앞부호 동전 던지기" 가 자연스러움. 오답들은 각기 다른 잘못 세기에 해당: 360 은 순서 곡선쌍 (절반 나누기 전), 180 은 교차 필터 전, 60 =

\frac{180}{3}

, 30 =

\frac{90}{3}

은 쌍 안 배정 잘못의 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 포물선 이해와 간단한 경우의 수만 알면 풀 수 있어요! 같은 대칭축을 공유하는 두 위로 열린 포물선은 "좁은 쪽이 동시에 더 높으면" 안 만나고, "좁은 쪽이 더 낮게 시작하면" 만나요. 두 상수를 교환하면 교차/비교차가 1-대-1 로 짝지어지니, 총 180 쌍의 정확히 절반인 90 이 교차, 답 (C).

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