AMC 10 · 2021 · #25

학년 5 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

systematic-enumerationcombinations-basiccaseworksymmetry-argument caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

구별할 수 없는 빨강 칩 3 개, 파랑 칩 3 개, 초록 칩 3 개를 3 × 3 격자의 9 칸에 한 칸당 한 칩씩 놓되, 같은 색의 두 칩이 변(가로 또는 세로) 으로 인접하지 않도록 배치하는 방법의 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~12

(B)

~18

(C)

~24

(D)

~30

(E)

~36

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #9(더 쉬운 문제) — 우선 "빨강 한 색만 인접 없이 놓는 방법" 을 묻는 더 쉬운 부분문제로 시작. 도구 #2(빠짐없이 나열) — 3 × 3 의 3-원소 독립집합을 모두 나열. 도구 #1(그림 그리기) — 각 독립집합을 스케치해 패턴을 시각화. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 빨강 배치마다 남은 6 칸에 3 B + 3 G 채우는 방법 수 세기. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지 {12, 18, 24, 30, 36} 모두 6 의 배수라 패턴 인식에 도움.

1STEP 1

중앙 포함 여부로 나눔 — 포함하면 나머지 둘은 모서리뿐이라 C(4, 2) = 6 개(케이스 A).

케이스 A (중앙 포함): C(4, 2) = 6 개

2STEP 2

중앙을 빼면(케이스 B) 모서리 수로 네 종류, 각 4 개 — 4 + 4 + 4 + 4 = 16 개.

케이스 B 합: 4 + 4 + 4 + 4 = 16 개

3STEP 3

독립집합은 모두 22 개지만 전체 컬러링으로 이어지는 건 P1 2 + P2 4 = 6 개뿐.

P1 (대각선): 2 모양; P2 (중앙 + 모서리 쌍): 4 모양

4STEP 4

빨강을 대각선에 고정하면 B/G 채움이 한 선택에서 정해져 2 가지 — 2 · 3 · 2 = 12(P1).

P1 합 = 2 · 3 · 2 = 12

5STEP 5

빨강을 중앙 + 같은 변 두 모서리에 두면 (2,1)·(2,3) 동색 강제 — 4 · 3 · 2 = 24(P2).

P2 합 = 4 · 3 · 2 = 24

6STEP 6

두 패턴은 겹치지 않으므로 더하면 12 + 24 = 36 — 선택지 (E).

총합 = 12 + 24 = 36 → (E)

정답

~36

감각 점검. 단순 셈으로

\frac{9!}{3!}

3! 3! = 1680 개 무제한 컬러링 중 36 은 약 2% — 빡빡한 인접 제약에 어울리는 비율. 격자는 D₄ 대칭(회전 + 반사, 총 8) 이고, D₄ 작용 하에 두 대각선은 한 궤도, 네 변(상하좌우) 도 한 궤도로 깔끔. 색 라벨 3 과 합쳐 12 + 24 = 36 이 대칭 수와 일관. (B⇔G 스왑이 빨강 배치 안에서 × 2 배 곱해지는 부분도 두 케이스에서 일관.)

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 5학년 빠짐없이 나열·곱셈만 있으면 풀려요 — 한 색(빨강) 의 유효 배치 모양은 2 가지 대각선과 4 가지 "중앙 + 같은 변의 두 모서리" 만 가능, 각각에서 나머지 6 칸을 B/G 로 채우는 방법은 정확히 2 가지; 여기에 색깔 3 가지를 곱하고 합하면 2 · 3 · 2 + 4 · 3 · 2 = 12 + 24 = 36.

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