AMC 8 · 2011 · #23

학년 5 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Digit Place Position

systematic-enumerationcombinations-basicdigit-constraintsdivisibility-rules caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

네 자리 양의 정수 ABCD 중에서 네 자리 숫자가 모두 다르고, 맨 앞자리 A ≠ 0 이며, 전체가 5 의 배수이고, 사용된 자릿수 중 가장 큰 것이 5 인 수의 개수를 구해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

108

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

5 의 배수 조건이 마지막 자릿수를 D = 0 또는 D = 5 둘 중 하나로 묶어 주므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 마지막 자리 기준 두 경우로 깔끔하게 나눕니다. 각 경우 안에서는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 자리별 곱셈 원리로 적용해 — A 후보, 그다음 B 후보, 그다음 C 후보 — {0,1,2,3,4,5} 의 남은 숫자를 채워 갑니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로는 두 가지 부가 조건을 처리합니다 — 천의 자리에서 A ≠ 0 으로 한 선택지를 지우고, D = 0 인 경우엔 5 가 아직 안 쓰였으므로 A, B, C 중 한 자리에 5 를 강제 배치합니다.

1STEP 1

5 가 가장 큰 자릿수라 모든 자리는 {0,1,2,3,4,5} 안이고, 5 의 배수라 D ∈ {0, 5} 로 두 경우로 갈립니다.

경우 1: D = 5 | 경우 2: D = 0

2STEP 2

경우 1 (D = 5): 5 가 이미 쓰였으니 {0,1,2,3,4} 에서 A(≠0, 4가지)·B(4가지)·C(3가지) → 48.

4 × 4 × 3 = 48 개

3STEP 3

경우 2 (D = 0): 5 를 A·B·C 중 한 자리에 배치(3가지) 후 {1,2,3,4} 에서 두 자리 채움(4×3) → 36.

3 × (4 × 3) = 3 × 12 = 36 개

4STEP 4

두 경우는 D = 5 와 D = 0 으로 겹치지 않으니 더합니다: 48 + 36 = 84.

48 + 36 = 84 ⟹ (D)

정답

크기 감각으로 확인합니다. {0,1,2,3,4,5} 에서 자릿수 모두 다르고 A ≠ 0 인 네 자리 수의 총개수는 5 × 5 × 4 × 3 = 300 개입니다. 그중 D ∈ {0, 5} 의 비율은 대략

\frac{2}{6}

\frac{1}{3}

이므로 약 100 개 정도가 후보입니다. 우리가 구한 48 + 36 = 84 는 그 추정값보다 약간 작은데, "5 가 반드시 등장해야 한다" 는 조건이 {0,1,2,3,4} 만으로 이루어진 수를 걸러내기 때문입니다. 84 는 선택지 (D) 와 일치하고, (A), (B) 처럼 작지도 않아 자연스러운 크기입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 5학년에서 배운 "규칙대로 경우 나누기" 와 3학년 때부터 익힌 "자리별 가짓수 곱하기" 만 알면 풀 수 있어요!

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