AMC 8 · 2005 · #3

학년 5 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

reflection-symmetryline-symmetrycoordinate-geometrysystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: line-symmetrycoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

정사각형 ABCD 안에 4 × 4 격자가 있고, 작은 정사각형 다섯 개가 이미 검게 칠해져 있습니다. 대각선 BD 가 검은 패턴의 대칭축이 되도록 추가로 칠해야 하는 작은 정사각형의 최소 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

대칭축이라는 말은 곧 검은 패턴이 BD 에 대한 반사에 대해 변하지 않는다는 뜻입니다 — 도구 #11의 정의 그대로예요. 반사는 각 칸을 거울상 짝과 맞바꾸므로, 우리가 찾는 것은 숫자가 아니라 짝짓기입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 격자 위에 검은 칸을 모두 표시하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 검은 칸 하나하나의 거울상을 차례대로 적어 둡니다. 거울상이 아직 검은색이 아닌 칸이 곧 추가해야 할 칸이므로, 그 개수만 세면 최솟값이 나옵니다.

1STEP 1

D 를 원점에 두면 BD 는 직선 y = x 이고, 칸을 반사하면 열과 행이 맞바뀝니다: (c, r) → (r, c).

BD 에 대한 반사: (c, r) ⟷ (r, c)

2STEP 2

그림에서 이미 검은색인 다섯 칸을 (열, 행) 좌표로 읽어 적습니다.

검은 칸 집합 = {(0,3), (1,0), (2,3), (3,1), (3,3)}

3STEP 3

각 검은 칸의 좌표를 맞바꿔 거울상을 구합니다; (3,3) 은 대각선 위에 있어 자기 자신이 거울상입니다.

(0,3) → (3,0), (1,0) → (0,1), (2,3) → (3,2), (3,1) → (1,3), (3,3) → (3,3)

4STEP 4

각 거울상을 검은 칸 목록과 대조합니다: (3,3) 은 이미 있지만 (3,0), (0,1), (3,2), (1,3) 은 빠져 있습니다.

(3,0), (0,1), (3,2), (1,3) ∉ 검은 칸; (3,3) ∈ 검은 칸

5STEP 5

빠진 짝 네 칸만 칠하면 됩니다; 새 칸의 거울상은 모두 이미 검은색이라 더 칠할 필요가 없어요 — 답은 (D).

최소 추가 칸 수 = 4 → (D)

정답

추가 후 검은 칸 9 개를 짝으로 묶어 확인합니다: {(0,3),(3,0)}, {(1,0),(0,1)}, {(2,3),(3,2)}, {(3,1),(1,3)}, 그리고 자기 거울상인 (3,3). 모두 y=x 에 대해 거울상 짝이므로 BD 가 진짜로 대칭축이 됩니다. 더 적게 가능할까요? 불가능합니다 — 원래 대각선 밖의 검은 칸 네 개 각각의 짝이 비어 있었고, 한 번에 한 칸만 채울 수 있으므로 최소 네 칸이 필요합니다. 이로써 (A), (B), (C), (E) 가 모두 배제됩니다.

💡핵심 정리

대칭축이라는 말은 결국 모든 검은 칸에 검은 거울상 짝이 있다는 뜻이에요. 짝을 맞춰 보고 짝이 없는 칸을 칠하면 됩니다 — 네 칸이 비어 있었으니 답은 (D).

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