AMC 10 · 2021 · #8

학년 8 arithmetic

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 학생이 66 에 순환소수 1.ab (자리수 a, b)를 곱해야 했는데, 윗줄 표시를 놓치고 그냥 유한소수 1.ab (소수점 아래 두 자리)에 곱했습니다. 그 결과가 올바른 답보다 0.5 작았다고 합니다. 두 자리 수 ab 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

후보는 {15, 30, 45, 60, 75} 다섯 개뿐 — 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 값을 두 소수 차에 넣어 66 을 곱한 결과가 0.5 인지 검사. 도구 #3(가능성 지우기)으로 0.5 가 아닌 후보 탈락. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 다섯을 다 거치지 않고 한 단계에 답을 만드는 검증 경로 — 필요한 차 $\frac{0.5}{66}$ = $\frac{1}{132}$ 에서 N 을 역산.

1STEP 1

두 자리 블록을 N. 유한 1.ab = 1 + $\frac{N}{100}$ , 순환 1.ab = 1 + $\frac{N}{99}$ .

1.ab = 1 +

\frac{N}{100}

, 1.ab = 1 +

\frac{N}{99}

2STEP 2

빼면 정수 1 은 소거, $\frac{N}{99}$ - $\frac{N}{100}$ = $\frac{N}{9900}$ (공통분모 9900).

1.ab - 1.ab =

\frac{N}{99}

\frac{N}{100}

\frac{100N - 99N}{9900}

\frac{N}{9900}

3STEP 3

차에 66 을 곱하면 66· $\frac{N}{9900}$ = $\frac{N}{150}$ (9900 = 150 × 66).

66 ·

\frac{N}{9900}

\frac{66 N}{9900}

\frac{N}{150}

4STEP 4

주어진 차가 0.5 이므로 $\frac{N}{150}$ = 0.5, 따라서 N = 75.

\frac{N}{150}

= 0.5 → N = 150 · 0.5 = 75

5STEP 5

N=75 검산: 올바른 66·(1+ $\frac{75}{99}$ ) - 잘못된 66·1.75, 차 = $\frac{49.5}{99}$ = 0.5 ✓.

66 · 1.75 - 66 · 1.75 = 0.5 ✓

6STEP 6

N = 75 는 (E).

N = 75 → (E)

정답

각 보기마다 차

\frac{N}{150}

을 계산: 15 → 0.1, 30 → 0.2, 45 → 0.3, 60 → 0.4, 75 → 0.5. 0.5 를 만드는 유일한 값은 75. 다른 네 보기는 모두 작은 값으로 탈락. 크기 감각도 합리적 — 1 근처의 승수에서 두 자리 순환 부분을 놓치면 결과 차가 0.5 정도가 충분히 가능.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 순환소수-분수 변환만 알면 풀 수 있어요 — 1.ab = 1 + $\frac{N}{99}$ , 1.ab = 1 + $\frac{N}{100}$ 으로 두면 차가 $\frac{N}{9900}$ , 66 을 곱해 $\frac{N}{150}$ = 0.5 가 되어 N = 75.

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