AMC 10 · 2021 · #9

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

polynomial-factoringdifference-of-squaresperfect-squares convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

실수 x, y 의 모든 짝에 대해 식 (xy - 1)² + (x + y)² 가 가질 수 있는 가장 작은 값은 얼마인가? 두 항이 모두 제곱이므로 음이 될 수 없고, 그 정확한 최소값을 구해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$~\frac{1}{4}$

(C)

$~\frac{1}{2}$

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심 — 원래 식은 답을 숨기지만 전개 후 재묶음으로 깔끔한 곱 구조가 드러남. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 두 제곱을 전개·정리해 (x² + 1)(y² + 1) 로 인수분해. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 (0, 0) 이 최소를 실제로 만든다는 것을 확인. 도구 #3(가능성 지우기)으로 0 (xy=1 과 x+y=0 의 실수해 없음) 과 더 큰 보기들을 탈락.

1STEP 1

최소가 0 일 수 있나? xy = 1 과 x + y = 0 이 동시에 필요한데 그러면 -x² = 1 — 불가능, 0 은 탈락.

x + y = 0, xy = 1 → -x² = 1 (실수해 없음)

2STEP 2

두 제곱을 전개하면 -2xy 와 +2xy 가 상쇄돼 x² y² + x² + y² + 1 만 남음.

(xy-1)² + (x+y)² = x² y² - 2xy + 1 + x² + 2xy + y² = x² y² + x² + y² + 1

3STEP 3

묶어서 공통 x² + 1 을 빼내면 합이 곱 (x² + 1)(y² + 1) 로 바뀜.

x² y² + x² + y² + 1 = (x² + 1)(y² + 1)

4STEP 4

x² ≥ 0 이니 각 인수가 ≥ 1, 따라서 곱은 (x² + 1)(y² + 1) ≥ 1.

x² + 1 ≥ 1, y² + 1 ≥ 1 → (x² + 1)(y² + 1) ≥ 1

5STEP 5

하한이 달성됨 — x = 0, y = 0 에서 원식은 (0 - 1)² + 0² = 1.

(0, 0): (0 - 1)² + 0² = 1 ✓

6STEP 6

따라서 최소값은 1 — (D).

min = 1 → (D)

정답

두 갈래 확인: 인수분해로 (x²+1)(y²+1) ≥ 1 이 모든 실수 x, y 에서 성립함이 증명되고, (0, 0) 이 1 을 실제로 달성하므로 정확한 최소. 1 보다 작은 보기 {0,

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

} 는 부등식으로 제외. 1 이 달성되므로 (E) 2 도 너무 큼.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 대수만 알면 풀 수 있어요 — 두 제곱을 전개해 ± 2xy 가 소거되게 하고, (x² + 1)(y² + 1) 로 인수분해하면 각 인수가 ≥ 1 이라 곱도 ≥ 1, (0, 0) 에서 최소 1 이 실제로 달성.

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