AMC 10 · 2021 · #10

학년 8 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

volume-conevolume-cylinderformula-substitutionfraction-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: volume-cylindervolume-cone

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

꼭짓점이 아래로 향한 원뿔(밑면 반지름 12 cm, 높이 18 cm)이 물로 가득 차 있습니다. 물 전체를 밑면 반지름 24 cm 인 키 큰 원기둥에 부었을 때, 원기둥 안 물의 높이(cm)를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~1.5

(B)

(C)

(D)

~4.5

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (a) 원뿔 물 부피 (b) 원기둥 밑면 넓이 (c) 부피 = 밑면 × 높이 풀이 — 세 단계로 분리. 도구 #8(단위 살펴보기): cm³ ÷ cm² = cm — 답이 길이임을 확인. 도구 #9(더 쉬운 문제로): 원기둥 반지름이 정확히 원뿔의 2 배 — 밑면 넓이는 4 배. 만약 반지름이 같다면 원뿔 높이의 $\frac{1}{3}$ 이 답(6 cm), 반지름 2 배 → 밑면 4 배 → 높이 $\frac{1}{4}$ → 최종 $\frac{6}{4}$ = 1.5 cm. 도구 #3(가능성 지우기): $\frac{h_c}{3}$ = 6 미만의 답만 물리적으로 타당.

1STEP 1

원뿔 물 부피 V_c = $\frac{1}{3}$ π·12²·18 = 864π cm³.

V_c =

\frac{1}{3}

π · 144 · 18 = π · 144 · 6 = 864 π cm³

2STEP 2

원기둥 밑면 넓이 π·24² = 576π cm² — 반지름 2배라 원뿔 밑면의 4배.

π r_y² = π · 576 = 576 π cm²

3STEP 3

물 보존: 864π = 576π·h_y 이므로 h_y = $\frac{864}{576}$ .

h_y =

\frac{864 π}{576 π}

\frac{864}{576}

4STEP 4

$\frac{864}{576}$ 을 288 로 약분하면 h_y = 1.5 cm.

h_y =

\frac{864}{576}

\frac{3}{2}

= 1.5 cm

5STEP 5

1.5 는 선택지 (A) 와 일치.

h_y = 1.5 → (A)

정답

~1.5

도구 #9(더 쉬운 문제로) 검산. 만약 원기둥 반지름이 원뿔과 같은 12 라면 같은 물이 높이

\frac{1}{3}

· 18 = 6 cm 를 채움 (원뿔 = 같은 밑면·높이 원기둥의

\frac{1}{3}

). 반지름 2 배 → 밑면 4 배 → 높이

\frac{6}{4}

= 1.5 cm. 답 일치, (A) 확정. 또한 1.5 ≪ 18 은 좁은 원뿔의 물을 넓은 원기둥에 부었으니 얕게 깔리는 직관과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 원뿔 부피 공식 $\frac{1}{3}$ π r² h 만 알면 풀 수 있어요 — 원뿔이 담은 물은 864π cm³, 넓은 원기둥 밑면이 576π cm² 라서 물 높이는 $\frac{864}{576}$ = 1.5 cm, 답 (A).

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