경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2021B · #13

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

base-conversionsystems-of-equationsplace-valuepolynomial-roots convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: place-valuesystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수 밑 n 과 한 자리 숫자 d 가 다음을 만족합니다. (i) n 진법 수 32d 가 10 진법 263과 같음. (ii) n 진법 수 324가 6 진법 수 11d1과 같음. 이때 n + d 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13(대수): 각 수를 자리값 공식으로 옮김. 도구 #7(쪼개기)로 두 식 3n² + 2n + d = 263, 3n² + 2n + 4 = 253 + 6d 를 세움. 두 식의 차로 3n² + 2n 을 소거하면 d 만 남는 일차식 → d = 2. 도구 #6(추측·확인)으로 작은 밑들을 3n² + 2n = 261에 대입, n = 9가 첫 시도에서 성공. 도구 #3으로 n + d = 11을 선택지와 매칭.

1STEP 1

각 수를 n진법으로 펼치기

자리값 전개: 32d_n = 3n²+2n+d, 324_n = 3n²+2n+4, 6진법 11d1 = 253 + 6d.

32d_n = 3n² + 2n + d, 324_n = 3n² + 2n + 4, 11d1₆ = 253 + 6d

2STEP 2

두 식 세우기

두 식: (E₁) 3n²+2n+d = 263 (조건 i), (E₂) 3n²+2n+4 = 253+6d (조건 ii).

(E₁): 3n² + 2n + d = 263 (E₂): 3n² + 2n + 4 = 253 + 6d

3STEP 3

빼서 밑 항 없애기

(E₁)-(E₂): 3n²+2n 소거 → d - 4 = 10 - 6d, 즉 7d = 14, d = 2.

d - 4 = 10 - 6d → 7d = 14 → d = 2

4STEP 4

밑 구하기

d = 2 대입 → 3n²+2n = 261. 밑 시도: n = 8은 208, n = 10은 320, n = 9 는 261.

n = 9: 3 · 9² + 2 · 9 = 243 + 18 = 261 ✓

5STEP 5

두 조건 확인하기

검산: 322₉ = 263 ✓, 324₉ = 265 = 1121₆ ✓; d = 2 ≤ 5, 자리 3, 2, 4 모두 9 미만.

322₉ = 263, 324₉ = 265 = 1121₆

6STEP 6

밑과 숫자 더하기

덧셈: n + d = 9 + 2 = 11, 보기 (B).

n + d = 9 + 2 = 11 → (B)

정답

세 수 모두 정수로 깔끔하게 일치. 322₉ = 263이 주어진 263과 일치. 324₉ = 265 = 1121₆ — 두 진법 표기가 같은 값. 숫자 조건도 모두 만족: d = 2는 6 진법·9 진법 모두에서 합법, 324₉의 3, 2, 4도 9 미만. n = 9는 합리적 — 5 (32d 가 유효한 최소 밑)와 10 (32d_n = 263이면 d 가 음수가 되는 한계) 사이.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 일차방정식만 알면 풀 수 있어요! 각 수를 자리값으로 펴면 32d_n = 3n² + 2n + d = 263과 324_n = 253 + 6d. 두 식을 빼서 n 을 지우면 7d = 14, d = 2. 그러면 3n² + 2n = 261은 n = 9 에서 성립. n + d = 11, 답 (B).

각 수를 n진법으로 펼치기
두 식 세우기
빼서 밑 항 없애기
밑 구하기
두 조건 확인하기
밑과 숫자 더하기

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