AMC 10 · 2021 · #15

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

polynomial-factoringpolynomial-substitutionrecursive-sequenceexponents identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: polynomial-factoringexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

실수 x 가 x +

\frac{1}{x}

= √(5) 를 만족할 때, x¹¹ - 7 x⁷ + x³ 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~-1

(B)

(C)

(D)

(E)

$~\sqrt{5}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): 구할 식 x¹¹ - 7x⁷ + x³ = x³(x⁸ - 7x⁴ + 1) 로 인수분해 → 'x⁴ 를 간단히 표현'과 '괄호 평가'로 분리. 도구 #9(쉬운 문제): √(5) 가 거슬리니 x + $\frac{1}{x}$ = √(5) 를 제곱해 다항식 관계로 만들고, x² 을 곱해 분모 제거. 결과 x⁴ = 3x² - 1 이 쉬운 버전. 도구 #13(대수)로 u = x⁴ = 3x² - 1 을 u² - 7u + 1 에 대입 → x² 항이 전부 약분돼 0. 도구 #3으로 (B) 선택.

1STEP 1

인수분해로 구조 드러내기: x¹¹ - 7x⁷ + x³ = x³(x⁸ - 7x⁴ + 1) = x³·(u² - 7u + 1), u = x⁴.

x¹¹ - 7x⁷ + x³ = x³ (x⁸ - 7 x⁴ + 1) = x³ (u² - 7 u + 1), u = x⁴

2STEP 2

주어진 식을 제곱해 √(5) 제거: (x + $\frac{1}{x}$ )² = 5 → x² + 2 + $\frac{1}{x²}$ = 5 → x² + $\frac{1}{x²}$ = 3.

x² +

\frac{1}{x²}

= 3

3STEP 3

양변에 x² 곱해 분모 정리: x⁴ + 1 = 3x², 즉 x⁴ = 3x² - 1. u = x⁴ 을 x² 만으로 표현.

u = x⁴ = 3 x² - 1

4STEP 4

u² = (3x² - 1)² 전개 후 남은 x⁴ 을 다시 줄이면 u² = 21x² - 8.

u² = 9 x⁴ - 6 x² + 1 = (27 x² - 9) - 6 x² + 1 = 21 x² - 8

5STEP 5

u² = 21x² - 8, u = 3x² - 1 대입: (21x² - 8) - 7(3x² - 1) + 1 에서 x² 항이 소거돼 괄호 = 0.

u² - 7 u + 1 = (21 x² - 8) - (21 x² - 7) + 1 = 0

6STEP 6

조합: x¹¹ - 7x⁷ + x³ = x³·(u² - 7u + 1) = x³·0 = 0. x 값 없이도 0 → (B).

x¹¹ - 7 x⁷ + x³ = x³ · 0 = 0 → (B)

정답

독립 검산: x +

\frac{1}{x}

= √(5) 에서 이차식 x² - √(5) x + 1 = 0 → x =

\frac{√(5) ± 1}{2}

(양의 근

\frac{√(5)+1}{2}

≈ 1.618, 황금비 φ). φ² = φ + 1 ≈ 2.618, φ⁴ = (φ+1)² = φ² + 2φ + 1 ≈ 6.854. 그리고 3φ² - 1 = 3(2.618) - 1 = 6.854 — x⁴ = 3x² - 1 성립. 괄호 x⁸ - 7x⁴ + 1 = (3x² - 1)² - 7(3x² - 1) + 1 = 0 정확히 0 으로 확인. (B) 합리적.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 지수 법칙만 알면 풀 수 있어요! 구할 식 인수분해: x¹¹ - 7x⁷ + x³ = x³(x⁸ - 7x⁴ + 1). x + $\frac{1}{x}$ = √(5) 를 제곱해 x² + $\frac{1}{x²}$ = 3 → x⁴ = 3x² - 1. 괄호에 대입하면 x² 항이 모두 약분돼 괄호 = 0. 전체 식 = 0, 답 (B).

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