AMC 10 · 2021 · #2

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

absolute-valuesigned-square-rootsign-analysisexponents identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: absolute-valueexponents

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

√((3-2√(3))²) + √((3+2√(3))²) 의 값을 구합니다. 임의의 실수 a 에 대해 √(a²) = |a| 입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$~4\sqrt{3}-6$

(C)

(D)

$~4\sqrt{3}$

(E)

$~4\sqrt{3}+6$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) — 복잡한 √((□)²) 를 깔끔한 규칙 |□| 로 바꾸면 문제가 두 절댓값의 합으로 단순해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "3 - 2√(3) 의 부호" 와 "3 + 2√(3) 의 부호" 두 갈래로 나눠 처리 후 합치기. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 검산: 2√(3) ≈ 3.46 이므로 3 - 2√(3) ≈ -0.46, 3 + 2√(3) ≈ 6.46, 절댓값의 합 ≈ 6.92 ≈ 4√(3) — (D) 만 일치.

1STEP 1

각 "제곱의 제곱근" 을 절댓값으로: √(a²) = |a|, 주제곱근은 음수가 될 수 없으니까요.

√((3-2√(3))²) + √((3+2√(3))²) = |3-2√(3)| + |3+2√(3)|

2STEP 2

제곱해서 비교: 3² = 9, (2√(3))² = 12, 둘 다 양수이므로 2√(3) ＞ 3.

3² = 9 ＜ 12 = (2√(3))² → 2√(3) ＞ 3

3STEP 3

절댓값 풀기: 3-2√(3)＜0 이라 |3-2√(3)| = 2√(3)-3, 3+2√(3)＞0 이라 |3+2√(3)| = 3+2√(3).

|3-2√(3)| = 2√(3) - 3, |3+2√(3)| = 3 + 2√(3)

4STEP 4

두 항을 더하면 -3 과 +3 이 상쇄되고 2√(3) 가 둘 남아 4√(3) — 선택지 (D).

(2√(3) - 3) + (3 + 2√(3)) = 4√(3) → (D)

5STEP 5

소수 검산: 2√(3) ≈ 3.46 이라 두 항 ≈ 0.46, 6.46, 합 ≈ 6.92 로 4√(3) ≈ 6.93 과 맞음 — (D).

0.46 + 6.46 ≈ 6.92 ≈ 4√(3)

정답

~4√(3)

제곱근 안의 두 수가 모두 실수이므로 각 제곱근은 잘 정의되고 음수가 아님. 합 4√(3) ≈ 6.93 은 양수이며 (C) 6 과 (E) 4√(3) + 6 ≈ 12.93 사이로 어림과 일치. -3 과 +3 이 깔끔히 상쇄되는 것이 (D) 의 결정적 특징.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "√(a²) = |a|" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 제곱근을 절댓값으로 바꾸고 2√(3) ＞ 3 임을 알면 -3 과 +3 이 상쇄되어 4√(3) 만 남아요!

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