AMC 10 · 2021 · #22

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

principle-of-inclusion-exclusionprobability-basicpermutations-basiccombinations-basic complementary-countingidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Ang, Ben, Jasmin 세 사람이 각각 다섯 가지 색 (빨강, 파랑, 노랑, 하양, 초록) 의 서로 다른 블록 5 개씩을 갖고 있다. 각자 독립적으로 5 개의 빈 상자에 자신의 블록을 한 개씩 무작위로 넣는다 (각자 색깔 순열 한 가지를 균일 무작위로 고름). 어떤 상자에 같은 색 블록 3 개가 모두 들어갈 확률을

\frac{m}{n}

(기약분수) 으로 나타낼 때 m + n 을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~47

(B)

~94

(C)

~227

(D)

~471

(E)

~542

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기) — "적어도 하나" 는 포함-배제의 신호; 사건 A_i = "상자 i 가 같은 색" 다섯 개에 PIE 적용. 도구 #9 (더 쉬운 문제) — Ang 의 배치를 고정 (대칭이므로 일반성 손실 없음), 표본공간이 (5!)² 로 축소. 도구 #7 (쪼개기) — 각 |A_i₁ ∩ … ∩ A_i_k| 을 깔끔한 계승 곱으로 분리. 도구 #2 (나열) — 다섯 PIE 항을 모두 적고 부호 교대로 합산. 도구 #3 (가능성 지우기) — m + n 을 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

표본공간은 (5!)³ 이지만 대칭으로 Ang 의 순열을 고정하면 셀 대상은 (Ben, Jasmin) 쌍 14400 가지뿐.

|Ω| = (5!)³, Ang 고정 → |Ω'| = (5!)² = 14400

2STEP 2

상자가 같은 색이 되려면 Ben 과 Jasmin 이 Ang 을 따라해야 함; 겹치는 '적어도 하나' 합집합은 포함-배제 로 세는 상황.

|A₁ ∪ … ∪ A₅| = S₁ - S₂ + S₃ - S₄ + S₅

3STEP 3

k 상자 일치를 강제하면 Ben, Jasmin 각자 (5-k)!, 교집합 ((5-k)!)², S_k = C(5, k)((5-k)!)².

|A_i₁ ∩ … ∩ A_i_k| = ((5 - k)!)²; S_k = C(5, k)((5-k)!)²

4STEP 4

k = 1…5 대입: S₁ = 2880, S₂ = 360, S₃ = 40, S₄ = 5, S₅ = 1.

S₁ = 2880, S₂ = 360, S₃ = 40, S₄ = 5, S₅ = 1

5STEP 5

PIE: N = 2880 - 360 + 40 - 5 + 1 = 2556, 따라서 P = $\frac{2556}{14400}$ .

N = 2880 - 360 + 40 - 5 + 1 = 2556; P =

\frac{2556}{14400}

6STEP 6

2556 = 2²·3²·71, 14400 = 2⁶·3²·5², gcd 36 으로 나누면 $\frac{71}{400}$ (기약), m = 71, n = 400.

\frac{2556}{14400}

\frac{71}{400}

, m = 71, n = 400

7STEP 7

덧셈: m + n = 71 + 400 = 471, 선택지 (D).

m + n = 71 + 400 = 471 → (D)

정답

~471

감각 점검. 확률

\frac{71}{400}

≈ 0.1775, 약 18% — 그럴듯한 크기. 단일 상자 P(A_i) =

\frac{1}{5}

\frac{1}{5}

\frac{1}{25}

= 0.04 이고 상자 다섯 개에 대해 단순 합 5 · 0.04 = 0.20 이 상한 (겹침 무시), 실제 0.1775 는 약간 작아 PIE 가 중복을 적절히 빼낸 모습. 또 S₁ - S₂ = 2520 으로 두 항이 지배적이고 S₃ + S₅ - S₄ = +36 미세 보정 — 사건 A_i 가 드물 때 예상되는 패턴.

💡핵심 정리

이 어려운 AMC 10 문제도 7학년 확률 — "적어도 하나" 와 포함-배제 — 만으로 풀려요. Ang 의 배치를 먼저 고정 (대칭이라 손해 없음) 한 뒤, k 개 상자 한 쌍에 대해 Ben 과 Jasmin 이 Ang 을 따라하게 강제하는 경우의 수는 C(5, k)((5-k)!)². 부호 교대로 더해 2880 - 360 + 40 - 5 + 1 = 2556 유리한 경우, (5!)² = 14400 으로 나눠 약분하면 $\frac{71}{400}$ , 답은 m + n = 471.

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