AMC 10 · 2022 · #1

학년 5 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

fraction-arithmeticfraction-multiplication identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

3중 연분수

3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3}}}

의 값을 구해 다섯 선택지 중 하나와 일치시키세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{31}{10}$

(B)

$\frac{49}{15}$

(C)

$\frac{33}{10}$

(D)

$\frac{109}{33}$

(E)

$\frac{15}{4}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

표현식이 세 겹으로 겹쳐 있어 왼쪽에서 오른쪽으로 풀 수 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)는 거대한 분수를 똑같은 세 개의 작은 일 — "이미 아는 값을 □ 에 넣어 3 + 1/□ 계산하기" — 로 나눠 줍니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 출발점을 알려 줍니다 — 가장 깊은 층에서 시작해 바깥으로 올라가며 방금 구한 값을 다음 □ 에 넣는 것. 미지수가 없으니 대수(#13)는 과합니다 — 겹친 구조 자체가 길을 보여 줍니다.

1STEP 1

가장 안쪽 층: 3 을 $\frac{9}{3}$ 로 바꿔 $\frac{1}{3}$ 과 더하면 $\frac{10}{3}$ .

3 +

\frac{1}{3}

\frac{9}{3}

\frac{1}{3}

\frac{10}{3}

2STEP 2

중간 층: 1 을 $\frac{10}{3}$ 으로 나누면 뒤집혀 $\frac{3}{10}$ .

\frac{1}{\frac{10}{3}}

= 1 ÷

\frac{10}{3}

= 1 ×

\frac{3}{10}

\frac{3}{10}

3STEP 3

중간 층 마무리: 3 을 $\frac{30}{10}$ 로 쓰고 $\frac{3}{10}$ 과 더하면 $\frac{33}{10}$ .

3 +

\frac{3}{10}

\frac{30}{10}

\frac{3}{10}

\frac{33}{10}

4STEP 4

바깥 층: $\frac{33}{10}$ 을 $\frac{10}{33}$ 로 뒤집고 3 = $\frac{99}{33}$ 에 더하면 $\frac{109}{33}$ .

3 +

\frac{10}{33}

\frac{99}{33}

\frac{10}{33}

\frac{109}{33}

→ (D)

정답

\frac{109}{33}

크기 점검. 각 층이 대략 "3 + 1/(3 보다 조금 큰 수)" 이므로 전체 값은 3 보다 살짝 크고 4 보다는 한참 작아야 합니다.

\frac{109}{33}

≈ 3.303 이 딱 그 범위에 들어옵니다. 선택지 (C)

\frac{33}{10}

= 3.3 은 중간 층의 값(한 단계 일찍 멈춘 함정), (D) 가 진짜 바깥 층 값으로 정답과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "분모 다른 분수 더하기 + 분수 뒤집기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 안쪽 $\frac{1}{3}$ 부터 한 층씩 바깥으로 올라가면 끝!

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