AMC 10 · 2022 · #13

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesisosceles-triangleratio-proportion identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

부등변 삼각형 ABC 에서 A 의 이등분선이 변 BC 위 점 P 를 만나고 BP = 2, PC = 3 입니다. B 에서 직선 AP 에 내린 수선을 그 너머로 연장하면, A 를 지나면서 BC 와 평행한 직선과 점 D 에서 만납니다. AD 의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): A, B, C, 이등분선 AP, B 에서의 수선, A 를 지나는 평행선까지 그려 봅니다. 그림은 곧바로 보조점 Y — 직선 BD 가 직선 AC 와 만나는 점 — 를 추가하라고 말해 줍니다. 왜냐하면 AP 가 A 의 각이등분선이자 동시에 BY 와 만나는 점에서 수직이므로, 각의 내부에서 AP 가 BY 의 수직이등분선이 되고, 이등변삼각형 ABY 가 만들어져 AY = AB 가 됩니다. 도구 #7(쪼개기)이 일을 셋으로 나눕니다: (a) 각이등분선 정리로 BP:PC = 2:3 에서 AB:AC = 2:3, (b) 반사 트릭으로 AY = AB, 따라서 YC = AC - AY, (c) 평행선 AD ∥ BC 로 △ ADY ∼ △ CBY, 비율 AY:CY = 2:1 이므로 AD = 2 · BC = 10. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 필요 시 AB = 2, AC = 3 같은 구체 값으로 그림을 더 또렷이 만드는 안전망.

1STEP 1

각이등분선 정리로 BP:PC = AB:AC, 따라서 AB:AC = 2:3 — AB = 2k, AC = 3k.

BP/PC = AB/AC →

\frac{2}{3}

= AB/AC → AB = 2k, AC = 3k

2STEP 2

BD 를 연장해 AC 와 Y 에서 만남; AP 가 ∠A 이등분·BY 에 수직이라 ASA 로 AY = AB = 2k (Y 는 B 의 거울상).

△ AXB ≅ △ AXY → AY = AB = 2k

3STEP 3

AY = 2k 가 AC = 3k 보다 작으니 Y 는 A 와 C 사이에 있고, YC = AC − AY = k.

YC = AC - AY = 3k - 2k = k

4STEP 4

AD ∥ BC 이므로 엇각과 Y 의 맞꼭지각으로 AA 닮음: △ADY ∼ △CBY.

AD ∥ BC → △ ADY ∼ △ CBY

5STEP 5

대응 변으로 AD:CB = AY:CY = 2:1, CB = 2 + 3 = 5 이므로 AD = 2 × 5 = 10.

AD/CB = AY/CY = 2k/k = 2 → AD = 2 × 5 = 10

6STEP 6

AD = 10 은 선택지 (C) 와 일치; 나머지 8, 9, 11, 12 는 2:3 비율이 못 만드는 값.

AD = 10 → (C)

정답

구체 수로 점검. AB = 2, AC = 3, BC = 5 는 (평평한 퇴화 경계)이므로 약간 줄여 BC = 4 로 잡으면 실제 삼각형. 이등분선은 여전히 BP:PC = 2:3 비율을 유지. B 를 AP 에 대해 반사하면 Y 가 AC 위에 떨어지고 AY = AB = 2, YC = 1. 닮음비 AY/YC = 2, 따라서 AD = 2 · BC = 8. 원래 BC = 5 로 돌리면 AD = 2 · 5 = 10 으로 비례 확장. 크기 점검: AD 가 BC 의 두 배 — 평행선 위에서 A 로부터 C 반대쪽으로 멀리 떨어진 D 의 그림과 자연스러움.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 반사와 평행선 사실만 알면 풀 수 있어요! AP 가 각이등분선이면서 BD 에 수직이라는 사실이 D 의 직선을 거울로 만들어 AC 위의 새 점 Y 가 AY = AB 를 만족. 평행선 AD ∥ BC 와 함께 닮음삼각형이 AD : BC = AY : YC = 2 : 1 을 주므로 AD = 2 · 5 = 10 이에요.