AMC 10 · 2022 · #8

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangecaseworkdivisibility-rules caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

여섯 개의 양의 정수 자료 {1, 7, 5, 2, 5, X} 의 평균이 자료에 이미 들어 있는 값과 같아야 합니다. 가능한 양의 정수 X 를 모두 찾아 그 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"평균이 자료에 있는 값" 이라는 조건이 후보를 다섯 가지로 좁혀줍니다 — 평균이 1, 2, 5, 7, 또는 X. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 차례대로 모든 경우를 점검하면 누락 없음. 각 경우 안에서 도구 #11(거꾸로 풀기) — 평균을 알고 있으니 평균 공식을 역으로 돌려 X 를 복구. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 검산 — 구한 X 를 다시 자료에 넣어 평균이 정말 자료에 있는 값인지 확인.

1STEP 1

고정값 다섯의 합이 1+7+5+2+5=20이니, 여섯 값의 평균은 $\frac{20+X}{6}$ .

1+7+5+2+5 = 20 → 평균 =

\frac{20+X}{6}

2STEP 2

자료의 서로 다른 값 {1, 2, 5, 7} 와 미지수 X — 다섯 경우: 평균이 1, 2, 5, 7, X.

경우: 평균 ∈ {1, 2, 5, 7, X}

3STEP 3

평균=1은 X=-14, 평균=2는 X=-8 — 둘 다 음수라 탈락; 양의 X로는 평균이 1이나 2까지 못 내려갑니다.

X = 6· 1 - 20 = -14, X = 6· 2 - 20 = -8

4STEP 4

평균=5는 X=10 — 양의 정수; {1,7,5,2,5,10}의 평균 5, 자료에 5 있음 ✓.

X = 6· 5 - 20 = 10 ✓

5STEP 5

평균=7은 X=22 — 양의 정수; {1,7,5,2,5,22}의 평균 7, 자료에 7 있음 ✓.

X = 6· 7 - 20 = 22 ✓

6STEP 6

평균=X: 20+X=6X → 5X=20 → X=4, 양의 정수이고 정의상 자료에 있는 값 ✓.

20 + X = 6X → X = 4 ✓

7STEP 7

통과한 값 X ∈ {4, 10, 22}, 그 합 4 + 10 + 22 = 36, 즉 (D).

4 + 10 + 22 = 36 → (D)

정답

통과한 X 마다 여섯 원소 자료의 평균을 다시 계산해 {1,2,5,7,X} 안에 있는지 직접 확인. 평균=1, 평균=2 경우는 다섯 고정값 합이 이미 20 이라 X 가 음수로 떨어져 정당하게 탈락. 합 36 은 (D) 와 일치. 근처 보기 32 나 40 은 {4, 22} 중 하나를 빠뜨리거나 잘못된 경우를 더한 결과에 해당.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 평균을 $\frac{20+X}{6}$ 로 쓰고, 자료에 있는 값마다 평균이 그 값과 같다고 두어 X 를 거꾸로 구한 다음, 양의 정수만 남겨 4+10+22=36.

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