AMC 10 · 2022 · #10
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 통계량(최빈·중앙·평균)이 한꺼번에 얽힘. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 — '정렬한 리스트는 어떻게 생겼나?', '평균 조건은 어떤 식을 주나?', '미지수를 얼마나 작게 만들 수 있나?' 셋으로 분리. 도구 #13(대수)으로 — 모양이 정해지면 M 에 대한 한 변수 방정식. 도구 #6(추측·확인)으로 — 가장 작은 합법적 x₁, x₂ 부터 시도, 짝홀이 안 맞으면 올림. 무거운 부등식 분석 대신 양의 정수에서 작은 방향성 추측으로 바닥값을 찾음.
다섯 수를 정렬하면 중앙값은 가운데 값 M, 따라서 최빈값은 M + 2.
정렬한 다섯 수의 중앙값은 가운데 — 6학년 통계.
6.SP.B.5Identify SubproblemsM + 2 는 중앙값보다 크니 위 두 자리에 들어가 x₁, x₂, M, M+2, M+2, x₁ ＜ x₂ ＜ M 이면 최빈값이 유일.
최빈값은 위쪽 두 자리에 두 번, 아래 셋은 모두 달라야 최빈값이 유일.
6.SP.A.3Identify Subproblems중앙값 = 평균 + 2 를 적용 — 합은 x₁ + x₂ + 3M + 4, 분수를 없애면 2M = x₁ + x₂ + 14.
평균 조건을 M, x₁, x₂ 의 깔끔한 일차식으로 변환.
6.EE.B.7Convert To Algebra최빈값을 줄이려면 M 을, 즉 x₁ + x₂ 를 줄이면 됨 — 2M 과 14 가 짝수이니 x₁ + x₂ 는 짝수.
양변의 짝홀이 x₁ + x₂ 가 짝수여야 함을 강제.
6.EE.B.5Convert To Algebra짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양수 x₁ = 1, x₂ = 3 을 넣으면 2M = 18, 즉 M = 9 (3 ＜ 9 ✓).
짝수 합을 만드는 가장 작은 x₁, x₂ 가 M 도 최소로 — 양의 정수에서 추측·확인.
5.NBT.B.5Guess And Check집합 {1, 3, 9, 11, 11} 검산 — 평균 7, 중앙 9, 최빈 11, 최빈 - 중앙 = 2, 중앙 - 평균 = 2 모두 성립.
세 조건 모두 성립 — 구성이 유효.
6.SP.B.5Guess And Check가장 작은 중앙값에 2 를 더하면 최빈값의 최솟값은 M + 2 = 11 — 답 (D).
중앙값 최솟값에 2 를 더하면 최빈값 최솟값.
4.NBT.B.4Identify Subproblems이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균·중앙값·최빈값과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 정렬 모양 x₁, x₂, M, M+2, M+2 에서 2M = x₁ + x₂ + 14, 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 1, 3 을 넣으면 M = 9, 최빈값 M + 2 = 11.