AMC 10 · 2022 · #12

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccomplementary-countingexponentsfraction-arithmeticbound-inequality-then-enumerate complementary-countingbound-inequality-then-enumerateguess-and-check ↑ 선수 지식: probability-basicfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

공정한 6면체 주사위 두 개를 n 번 굴립니다. 매번 두 눈의 합을 봅니다. n 번 중에 합이 7 인 경우가 적어도 한 번 나올 확률이

\frac{1}{2}

보다 커지는 가장 작은 n 을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16(관점 바꾸기 = 여사건)이 "적어도 한 번" 문제의 정석. "n 번 중 7 이 한 번이라도" 를 직접 세면 겹치는 경우가 많아지지만, 반대로 "한 번도 7 이 안 나옴" 은 n 마다 깔끔한 한 개의 값. 도구 #2(나열) 로 합이 7 인 순서쌍 6 개를 36 개 중에서 골라 1회 확률 $\frac{6}{36}$ = $\frac{1}{6}$ 을 확정. 도구 #6(추측·확인) 으로 선택지 n = 2, 3, 4, … 를 차례로 ( $\frac{5}{6}$ )ⁿ 에 대입해 $\frac{1}{2}$ 아래로 처음 떨어지는 지점을 찾습니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 첫 성공 지점에서 멈추도록 해 줍니다.

1STEP 1

주사위 두 개는 36 경우, 합이 7 인 순서쌍은 6 개, 그래서 1회 P(합=7) = $\frac{1}{6}$ .

P(7) =

\frac{6}{36}

\frac{1}{6}

2STEP 2

여사건으로 뒤집기: 한 번에 7 이 아닐 P(7 아님) = $\frac{5}{6}$ (1 − $\frac{1}{6}$ ).

P(not 7) = 1 -

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

3STEP 3

굴림이 독립이므로 n 번 모두 7 아님은 ( $\frac{5}{6}$ )ⁿ, 따라서 P(적어도 한 번 7) = 1 - ( $\frac{5}{6}$ )ⁿ.

P(적어도 한 번 7) = 1 - (

\frac{5}{6}

)ⁿ

4STEP 4

" $\frac{1}{2}$ 보다 크다" 를 정리하면 ( $\frac{5}{6}$ )ⁿ ＜ $\frac{1}{2}$ ; 이를 만족하는 가장 작은 n 을 찾기.

(

\frac{5}{6}

)ⁿ ＜

\frac{1}{2}

5STEP 5

선택지 대입: ( $\frac{5}{6}$ )² ≈ 0.69, ( $\frac{5}{6}$ )³ ≈ 0.58 은 위, 그러나 ( $\frac{5}{6}$ )⁴ ≈ 0.482 는 $\frac{1}{2}$ 아래.

(

\frac{5}{6}

)⁴ =

\frac{625}{1296}

≈ 0.482 ＜

\frac{1}{2}

6STEP 6

성공하는 최소 n 은 n = 4 — 선택지 (C); n=5, 6 도 만족하지만 필요 이상으로 큼.

n = 4 → (C)

정답

한 번에 7 이 나올 확률이 약 16.7% 이므로 한두 번 굴림으로는 절반에 못 미침이 직관적으로 분명. 세 번에는 약 42% (아직 부족), 네 번에는 약 52% 로 갓 넘김 — 우리 계산과 일치. 또 0.48 + 0.52 = 1 로 여사건 산수도 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! "적어도 한 번 7" 을 반대편 "전혀 7 이 아님" 으로 뒤집으면 ( $\frac{5}{6}$ )ⁿ ＜ $\frac{1}{2}$ 가 되고, n=2, 3, 4 를 대입하면 n=4 가 첫 번째로 성공.

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