AMC 10 · 2022 · #13

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-numberstwin-primesdifference-of-cubespolynomial-factoringdigit-sum easier-related-problemguess-and-checksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numberspolynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

차가 2 인 두 소수(쌍둥이 소수) 의 세제곱의 차가 31106 입니다. 두 소수보다 큰 가장 작은 소수를 찾고, 그 소수의 자릿수 합을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제)가 먼저: p 와 q 가 단 2 만큼 차이가 나므로 p ≈ q, 그러면 세제곱 차이는 대략 3q² · 2 = 6q². 6q² ≈ 31106 에서 q² ≈ 5184, 즉 q ≈ √(5184) = 72. 이 추정으로 거대한 세제곱 방정식이 "72 근처의 쌍둥이 소수는?" 이라는 작은 질문으로 줄어듭니다. 도구 #6(추측·확인) 으로 자연스러운 후보 q = 71, p = 73 을 73³ - 71³ 직접 계산으로 확인. 도구 #5(패턴) 의 a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²) 정체성으로 산수를 깔끔히. 도구 #2(나열) 로 74, 75, 76, 77, 78 을 차례로 지우고 79 가 다음 소수임을 확정합니다.

1STEP 1

p−q=2 가 작으므로 p³−q³ ≈ 6q²; 6q² ≈ 31106 에서 q² ≈ 5184, 즉 q ≈ 72.

6q² ≈ 31106 → q² ≈ 5184 → q ≈ 72

2STEP 2

72 근처 쌍둥이 소수는 (71, 73) — 둘 다 소수 — 따라서 q = 71, p = 73.

q = 71, p = 73 (쌍둥이 소수)

3STEP 3

a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) 로 검증: 73³−71³ = 2·15553 = 31106, 정확히 일치.

73³ - 71³ = 2 · (5329 + 5183 + 5041) = 2 · 15553 = 31106 ✓

4STEP 4

74–78 은 모두 합성수(짝수·5 로 끝남·7×11); 다음 소수는 79.

74, 75, 76, 77, 78 합성수; 79 소수

5STEP 5

79 의 자릿수 합: 7 + 9 = 16.

7 + 9 = 16

6STEP 6

다섯 선택지 중 16 은 (E).

16 → (E)

정답

추정 점검. 6 · 72² = 6 · 5184 = 31104, 31106 과 거의 일치 — 72 근방 추정이 정확했음. 직접 확인: 71³ = 357911, 73³ = 389017, 차 = 31106 정확. 71 과 73 은 잘 알려진 쌍둥이 소수. 73 이후 74-78 모두 합성수이고 79 가 첫 소수 — 잘 알려진 "소수 간격". 자릿수 합 16 은 (E) 와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 제곱근 추정만 알면 풀 수 있어요! 세제곱 차로부터 q ≈ √(5184) = 72 이 나오고, 그 근처 쌍둥이 소수는 71, 73, 그 다음 소수 79 의 자릿수 합 7+9=16 으로 (E).

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