AMC 10 · 2022 · #19
학년 3 geometry-2d
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AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #7 (쪼개기): 중앙 칸이 처음에 "채워짐" 인지 "비어 있음" 인지로 두 경우로 분할 — 추론 방식이 매우 다름. 중앙 채워짐: 이웃 중 2 또는 3 개의 주변 칸이 채워져야 하고, 모든 주변 칸은 비도록 죽거나 그대로 비어야 함. 중앙 비어 있음: 정확히 3 개의 주변 채워진 칸이 있어야 하고 결과적으로 모두 비어야 함. 도구 #1 (그림): 모서리 C, 가장자리 E, 중앙 M 으로 표시한 3 × 3 그림으로 이웃 관계 추적. 도구 #2 (나열): 각 경우의 조건을 갖고 작은 유한 집합을 빠짐없이 훑기. 도구 #10 (만져보기): 그래프 종이에 동전을 놓고 손으로 이웃 세기.
안쪽 3 × 3 라벨링: 모서리 4, 가장자리 4, 중앙 M. 이웃 수 — 모서리 3, 가장자리 5, 중앙 8.
3 × 3 한 번 그리고 각 위치마다 이웃 수를 세어 두기 — 모서리 (드문), 가장자리 (중간), 중앙 (전부).
K.G.A.1Draw A Diagram경우 1 — 중앙 M 이 처음에 채워짐: 채워진 주변이 2 또는 3일 때만 유지되고, 다른 모든 주변 칸은 비어야 함.
중앙은 모든 칸의 이웃이라 독립적으로 다룰 수밖에 없음.
1.OA.A.2Identify Subproblems경우 1.1 (M 의 채워진 주변 2개): 정반대 모서리 쌍 둘만 비이웃이면서 부활할 공통 빈 이웃이 없음 → 2 가지.
정반대 모서리 쌍만 서로 비이웃이면서 공통 빈 이웃을 갖지 않음.
3.OA.D.8Make A Systematic List경우 1.2 (M 의 채워진 주변 3개): 상호 비이웃 세 칸은 항상 두 칸과 동시에 이웃인 빈 칸을 남겨 부활시킴 → 0 가지.
상호 비이웃인 세 주변 칸은 항상 "공통 이웃" 빈 칸을 만들어 그 칸이 부활.
3.OA.D.8Make A Systematic List경우 1 합계: 정반대 모서리 쌍 둘만 성립 → 2 가지.
정반대 모서리 쌍 둘뿐.
1.OA.A.2Identify Subproblems경우 2 — 중앙 M 이 처음에 빔: 채워진 주변 정확히 3개, 유도 그래프 최대차수 ≤ 1, 셋 모두 이웃인 빈 칸 없음.
세 채워진 칸 중 어느 칸도 다른 둘과 동시에 이웃이 아니고, 바깥 빈 칸 중 세 칸 모두를 이웃으로 가진 칸도 없음.
1.OA.A.2Identify Subproblems모양 A — 모서리 세 개 (서로 비이웃): 어느 모서리를 뺄지 선택 → 4 가지.
네 모서리 중 하나만 비우는 선택.
3.OA.A.3Make A Systematic List모양 B — 한 변의 두 모서리 + 정반대 가장자리: 두 모서리가 어느 변인지 선택 → 4 가지.
한 변의 양 모서리 + 그 반대편 외로운 가장자리.
3.OA.A.3Make A Systematic List모양 C — 한 모서리에서 만나는 두 가장자리 + 대각선 끝 모서리: 공유 모서리 위치 4곳 선택 → 4 가지.
한 모서리에서 만나는 두 가장자리 + 대각선 끝 모서리.
3.OA.A.3Make A Systematic List모양 D — L (모서리 + 이웃 가장자리 하나) + 대각선 반대 모서리: 모서리 4곳 × 가장자리 2 → 8 가지.
L 자 (모서리 + 그 옆 가장자리 하나) 를 한 모서리에 두고, 대각선 끝 모서리도 채움.
3.OA.A.3Make A Systematic List경우 2: 4 + 4 + 4 + 8 = 20; 경우 1 의 2 와 합쳐 총합 = 22, 답 (C).
서로 배반인 두 경우를 합치기.
2.OA.A.1Identify Subproblems중앙이 처음에 어떤 상태인지로 쪼개기. 중앙 채워짐: 정반대 모서리 쌍 두 개만 (2 가지). 중앙 빔: 채워진 주변 3 개가 네 모양 중 하나 (4 + 4 + 4 + 8 = 20 가지). 총 22, 답 (C).