AMC 10 · 2022 · #23

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicgeometric-probabilityexpected-valuecomplementary-countingfraction-arithmetic complementary-countingeasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicgeometric-probability

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

개미 Amelia 가 0 에서 출발. 단계 n = 1, 2, 3 마다 시간 t_n 과 이동 거리 x_n 을 각각 (0,1) 에서 균등하고 독립적으로 뽑습니다. 단계 n 에 x_n 만큼 오른쪽으로 이동하며 t_n 분 소비. 누적 시간이 1 분을 초과하는 순간 그 단계 끝에서 멈추고, 최대 3 단계까지 갑니다. 최종 위치가 1 보다 클 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$\frac{2}{3}$

(D)

$\frac{3}{4}$

(E)

$\frac{5}{6}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기) — 멈춤 규칙으로 두 배반 시나리오(단계 2 끝 멈춤 / 단계 3 끝 멈춤) 이 나오니, 답은 두 확률의 합. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 먼저 더 단순한 "균등 (0,1) 두 개 합이 1 을 넘을 확률" 을 작은 그림으로 풀고, 그다음 세 개 합으로 확장. 도구 #1(그림) — 단위 정사각형(두 변수 합)과 단위 정육면체 안의 사면체(세 변수 합)를 그려 확률을 면적·부피로 읽기. 도구 #16(관점 바꾸기) — 세 변수 합의 $\frac{5}{6}$ 영역 대신 작은 사면체(보집합)의 $\frac{1}{6}$ 을 계산.

1STEP 1

배반 두 경우로 분리 — S1: 단계 2 멈춤, S2: 단계 3 멈춤. 독립성 덕에 각 경우 P(시간) · P(위치).

P(위치 ＞ 1) = P(T₂ ＞ 1) P(X₂ ＞ 1) + P(T₂ ≤ 1) P(X₃ ＞ 1)

2STEP 2

몸풀기: 단위 정사각형에서 u₁+u₂ ≤ 1 은 넓이 $\frac{1}{2}$ 삼각형이라 P(u₁+u₂ ＞ 1) = $\frac{1}{2}$ .

P(u₁+u₂ ＞ 1) =

\frac{1}{2}

3STEP 3

같은 정사각형으로 P(T₂ ＞ 1) = P(X₂ ＞ 1) = P(T₂ ≤ 1) = $\frac{1}{2}$ , 따라서 P(S1) = $\frac{1}{4}$ .

P(S1) =

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

4STEP 4

S2 엔 P(X₃ ＞ 1) 필요. 보집합 x₁+x₂+x₃ ≤ 1 은 단위 정육면체 속 부피 $\frac{1}{6}$ 사면체라 P(X₃ ＞ 1) = $\frac{5}{6}$ .

P(X₃ ＞ 1) = 1 -

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

5STEP 5

S2 는 시간·위치 사건을 곱해 P(S2) = $\frac{1}{2}$ · $\frac{5}{6}$ = $\frac{5}{12}$ .

P(S2) =

\frac{1}{2}

\frac{5}{6}

\frac{5}{12}

6STEP 6

배반 두 경우 합: $\frac{1}{4}$ + $\frac{5}{12}$ = $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$ , 정답 (C).

\frac{1}{4}

\frac{5}{12}

\frac{8}{12}

\frac{2}{3}

→ (C)

정답

\frac{2}{3}

수치 점검. 두 시나리오는 "Amelia 가 결국 멈춘다" 사건을 분할 — 규칙상 단계 3 까지 가면 무조건 멈추니 분할 정확. 각 시나리오 확률이 음이 아니고 해당 멈춤 주변 확률 이하.

\frac{1}{4}

\frac{5}{12}

\frac{2}{3}

≈ 0.667, (0,1) 안이며

\frac{1}{2}

보단 큼 (세 단계 가면 보통 1 을 넘으니 일관). (C) 와 일치. 다른 선택지는 흔한 오답: (B)

\frac{1}{2}

는 단계 3 의 더 큰 거리를 무시; (E)

\frac{5}{6}

은 시간 조건 빼고 P(X₃ ＞ 1) 만 본 것; (A)

\frac{1}{3}

은 보집합 추측.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 멈춤 규칙이 "단계 2 멈춤" 과 "단계 3 멈춤" 두 경우로 깔끔히 나뉩니다. 첫 경우는 시간 합과 위치 합 모두 단위 정사각형 위 사건으로 각 $\frac{1}{2}$ . 두 번째 경우의 세 균등변수 합이 1 을 넘을 확률은 작은 사면체(보집합) 부피 $\frac{1}{6}$ 을 빼서 $\frac{5}{6}$ . 더하면 $\frac{1}{4}$ + $\frac{5}{12}$ = $\frac{2}{3}$ .

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