AMC 10 · 2022 · #5

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

fraction-arithmeticdifference-of-squarespolynomial-factoringexponents identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticdifference-of-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

((1 +

\frac{1}{3}

)(1 +

\frac{1}{5}

)(1 +

\frac{1}{7}

))/(√((1 -

\frac{1}{3²}

)(1 -

\frac{1}{5²}

)(1 -

\frac{1}{7²}

))) 의 값을 구합니다. 분자와 근호 안에는 숨은 연결이 있습니다 — 1 -

\frac{1}{n²}

= (1 -

\frac{1}{n}

)(1 +

\frac{1}{n}

) 로 쪼개면 분자에 있는 (1 +

\frac{1}{n}

) 들이 근호 안에도 그대로 나타납니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt3$

(B)

(C)

$\sqrt{15}$

(D)

(E)

$\sqrt{105}$

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 식을 세 단계로 — (가) 근호 안을 인수분해, (나) 비율을 단순화, (다) 마지막 계산. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 (가) 의 지렛대 "제곱의 차" a² - b² = (a - b)(a + b) 를 1 - $\frac{1}{n²}$ 에 적용합니다. 그러면 전체가 하나의 깔끔한 분수의 제곱근으로 정리되고 약분이 한 번에 마무리. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 객관식 안전망 — 답이 √(3), 2, √(15), 4, √(105) 중 하나이므로 수치가 나오면 바로 대조 가능.

1STEP 1

근호 안 각 인수에 제곱의 차를 적용: 1 - $\frac{1}{n²}$ = (1 - $\frac{1}{n}$ )(1 + $\frac{1}{n}$ ) (n = 3, 5, 7).

D = (1 -

\frac{1}{3}

)(1 +

\frac{1}{3}

)(1 -

\frac{1}{5}

)(1 +

\frac{1}{5}

)(1 -

\frac{1}{7}

)(1 +

\frac{1}{7}

)

2STEP 2

M = (1 - $\frac{1}{3}$ )(1 - $\frac{1}{5}$ )(1 - $\frac{1}{7}$ ) 로 두면 분자 N 이 근호 안에 N · M 로 나타나 전체가 √( $\frac{N}{M}$ ) 로 압축.

\frac{N}{√(D)}

\frac{N}{(√(N · M))}

= √(

\frac{N}{M}

)

3STEP 3

N 과 M 의 각 단순 분수를 계산 (공통분모로 더하기·빼기).

N =

\frac{4}{3}

\frac{6}{5}

\frac{8}{7}

, M =

\frac{2}{3}

\frac{4}{5}

\frac{6}{7}

4STEP 4

$\frac{N}{M}$ 을 만들면 3 · 5 · 7 이 약분되고 4 와 6 도 사라져 $\frac{N}{M}$ = 4 만 남습니다.

\frac{N}{M}

= (

\frac{4 · 6 · 8}{3 · 5 · 7}

)/(

\frac{2 · 4 · 6}{3 · 5 · 7}

) =

\frac{4 · 6 · 8}{2 · 4 · 6}

\frac{8}{2}

= 4

5STEP 5

비율에 제곱근을 취하면 √4 로 최종 값 2 가 나옵니다.

√(

\frac{N}{M}

) = √(4) = 2 → (B)

정답

어림 검산. 1 +

\frac{1}{n}

은 1 보다 살짝 크고, 1 -

\frac{1}{n}

은 살짝 작으므로

\frac{1 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n}}

은 1 보다 조금 큼. n = 3, 5, 7 에 대한 곱은 1 보다 크고 10 보다 훨씬 작은 범위, 제곱근까지 씌우면 1 에 더 가까워집니다. 값 2 가 그 크기 감각과 정확히 맞고, 약분 4 · 6 · 8 = 2 · 4 · 6 · 4 로 √(4) = 2 가 근사가 아닌 정확한 값임이 보장됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "1 - $\frac{1}{n²}$ = (1 - $\frac{1}{n}$ )(1 + $\frac{1}{n}$ )" 만 알면 풀 수 있어요 — 이 인수분해 한 줄에 거대한 분수가 무너져 √(4) = 2 가 됩니다.

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