AMC 10 · 2022 · #6

학년 5 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

prime-numbersprimality-testpattern-recognitiondigit-decompositiondivisibility-rules pattern-recognitionsystematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: prime-numbersdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

수열 121, 11211, 1112111, … — n번째 항은 1이 n개, 가운데 2 하나, 그리고 다시 1이 n개로 이루어진 수입니다. 처음 열 항 가운데 소수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

a₁0 을 일일이 계산해 소수 판정하는 것은 21자리 수라 사실상 불가능. 도구 #9(더 쉬운 문제)로 n=1, 2, 3 작은 경우부터 — 공통된 구조가 보임. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 경우 같은 모양의 분해 (1들의 묶음을 자릿수만 옮긴 합)임을 일반화. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 '소수인가'라는 질문을 '인수분해 가능한가 + 두 인수가 모두 1보다 큰가' 두 부분으로 분리. 두 인수가 항상 1 보다 크면 어떤 항도 소수가 아님.

1STEP 1

가장 작은 경우: a₁ = 121 = 110 + 11 = 11 · (10 + 1) = 11 · 11 — 합성수.

a₁ = 121 = 11 · 11

2STEP 2

n=2: a₂ = 11211 = 11100 + 111 = 111 · (100 + 1) = 111 · 101 — 같은 모양.

a₂ = 11211 = 111 · 101

3STEP 3

n=3: a₃ = 1112111 = 1111000 + 1111 = 1111 · (1000 + 1) = 1111 · 1001 — 패턴 성립.

a₃ = 1112111 = 1111 · 1001

4STEP 4

일반식: a_n = R_n+1 · (10ⁿ + 1) — n+1 개의 1 곱하기 (1, 가운데 0들, 다시 1).

a_n = R_n+1 · (10ⁿ + 1)

5STEP 5

n = 1 부터 10 까지 두 인수 모두 1보다 큼: R_n+1 ≥ 11 이고 10ⁿ + 1 ≥ 11.

R_n+1 ≥ 11 ＞ 1 이고 10ⁿ + 1 ≥ 11 ＞ 1

6STEP 6

n = 1…10 모든 a_n 은 1보다 큰 두 인수의 곱 → 모두 합성수, 소수 없음. 답 (A).

소수 개수 = 0 → (A)

정답

검산 — n=1: 11 · 11 = 121 ✓. n=2: 111 · 101 = 11211 ✓. n=3: 1111 · 1001 = 1112111 ✓. 세 경우에서 분해가 맞고, 모든 n ≥ 1 에서 R_n+1 ≥ 11, 10ⁿ + 1 ≥ 11 이 성립하므로 n = 10 까지 예외 없이 결론이 적용. 다른 보기 1, 2, 3, 4 는 어떤 특정 n 에서 인수분해가 깨져야 가능한데 깨지지 않음.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 5학년 자릿값과 약수 쌍만 알면 풀 수 있어요 — 가운데 2 에서 수를 가르면 1 들의 묶음을 공통으로 뽑아낼 수 있고, 열 항 모두 1 보다 큰 두 수의 곱이라 소수가 하나도 없습니다.

비슷한 유형 더 풀어보기