AMC 10 · 2022 · #9

학년 7 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
factorialfraction-arithmetictelescoping-sumpattern-recognition pattern-recognitioneasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: factorialfraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
합 12!\frac{1}{2!} + 23!\frac{2}{3!} + 34!\frac{3}{4!} + … + 20212022!\frac{2021}{2022!} 이 양의 정수 a, b 에 대해 a - 1b!\frac{1}{b!} 로 표현됩니다. a + b 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2020
(B)
2021
(C)
2022
(D)
2023
(E)
2024

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

2021 항을 직접 더하는 것은 불가능. 도구 #9(더 쉬운 문제)로 처음 2, 3 개 부분합부터 — 모양을 본다. 도구 #5(패턴)로 작은 경우에서 닫힌 형태를 추측, 한 번 더 확인. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 '한 항을 차로 다시 쓰기'(이웃과 상쇄되게)와 '다시 쓴 항들을 합치기'로 분리. n(n+1)!\frac{n}{(n+1)!} 을 1n!\frac{1}{n!} - 1(n+1)!\frac{1}{(n+1)!} 로 다시 쓰면 전체 합이 망원경처럼 접혀 거의 다 사라짐.

1STEP 1

처음 세 부분합 계산: S₁ = 12\frac{1}{2}, S₂ = 56\frac{5}{6}, S₃ = 2324\frac{23}{24}.

S₁ = 12\frac{1}{2}, S₂ = 56\frac{5}{6}, S₃ = 2324\frac{23}{24}
2STEP 2

패턴 포착: 각 Sₙ 은 1 에서 계승 역수 하나만큼 모자라니 Sₙ = 1 - 1(n+1)!\frac{1}{(n+1)!} 추측.

S₁ = 1 - 12!\frac{1}{2!}, S₂ = 1 - 13!\frac{1}{3!}, S₃ = 1 - 14!\frac{1}{4!}
3STEP 3

n = (n+1) - 1 로 갈라 각 항을 재작성: n(n+1)!\frac{n}{(n+1)!} = 1n!\frac{1}{n!} - 1(n+1)!\frac{1}{(n+1)!}.

n(n+1)!\frac{n}{(n+1)!} = 1n!\frac{1}{n!} - 1(n+1)!\frac{1}{(n+1)!}
4STEP 4

차들이 망원경처럼 접혀 안쪽 항이 짝지어 상쇄, S = 1 - 12022!\frac{1}{2022!} 만 남음.

S = 11!\frac{1}{1!} - 12022!\frac{1}{2022!} = 1 - 12022!\frac{1}{2022!}
5STEP 5

1 - 12022!\frac{1}{2022!} 을 a - 1b!\frac{1}{b!} 와 맞춤: a = 1, b = 2022, 둘 다 양의 정수.

1 - 12022!\frac{1}{2022!} = a - 1b!\frac{1}{b!} → a = 1, b = 2022
6STEP 6

합: a + b = 1 + 2022 = 2023, 답 (D).

a + b = 1 + 2022 = 2023 → (D)
정답
2023
작은 n 독립 검증 — n = 3 까지의 합에 공식 적용 S₃ = 1 - 14!\frac{1}{4!} = 2324\frac{23}{24}, 1단계 직접 계산과 일치 ✓. 크기 감각 — 12022!\frac{1}{2022!} 은 천문학적으로 작으므로 합은 1 에 거의 근접, 이는 12\frac{1}{2}, 56\frac{5}{6}, 2324\frac{23}{24}, … 가 1 로 향하는 흐름과 일치. (D) 2023 은 a = 1, b = 2022 와 정확히 부합. 가까운 (C) 2022 또는 (E) 2024 는 망원경 끝항 b 에서 한 칸 어긋난 결과.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 7학년 식 다시 쓰기만 알면 풀 수 있어요 — n(n+1)!\frac{n}{(n+1)!} 을 1n!\frac{1}{n!} - 1(n+1)!\frac{1}{(n+1)!} 로 쪼개면 도미노처럼 상쇄돼 1 - 12022!\frac{1}{2022!} 만 남으니, a + b = 1 + 2022 = 2023.

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.