AMC 10 · 2023 · #10

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

mean-median-mode-rangelinear-equations-two-varsystems-of-equations convert-to-algebraguess-and-checkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Maureen 은 지금까지 n 번의 퀴즈를 봤고 현재 평균은 M (총점은 n · M). 다음 퀴즈에서 11 점을 받으면 평균이 M + 1 로, 다음 세 번의 퀴즈에서 각각 11 점을 받으면 평균이 M + 2 로 오릅니다. 현재 평균 M 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

선택지가 4, 5, 6, 7, 8 다섯 개의 작은 자연수, 관계도 깔끔한 정수식이라 도구 #6(추측하고 확인하기)이 가장 빠른 길입니다. 각 후보 M 에 대해 첫 단서로 n 을 정하고, 둘째 단서가 성립하는지 확인하면 끝. 도구 #3(가능성 지우기)은 n 이 양의 정수가 안 되면 곧장 후보를 떨어뜨립니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 검증을 맡습니다 — 두 단서를 식으로 세워 일차연립방정식을 풀어보면 같은 답이 나옴을 확인.

1STEP 1

첫 단서를 평균의 정의로 옮기고 전개해 nM 을 지우면 깔끔한 관계 n + M = 10 이 남습니다.

nM + 11 = (n+1)(M+1) = nM + n + M + 1 → n + M = 10

2STEP 2

다섯 선택지를 훑습니다: 각 후보 M 은 n = 10 - M 을 주고, 모두 양의 정수 n 이 나옵니다.

M & n = 10-M & n 가능? ; 4 & 6 & ✓ ; 5 & 5 & ✓ ; 6 & 4 & ✓ ; 7 & 3 & ✓ ; 8 & 2 & ✓

3STEP 3

둘째 단서 설정: 11 점을 세 번 더 받으면 총점 nM + 33, 퀴즈 n + 3 번, 이는 (n+3)(M+2) 와 같아야 합니다.

확인: nM + 33 ?= (n+3)(M+2)

4STEP 4

다섯 후보를 모두 점검: M = 7 (n = 3) 만 nM + 33 = 54 = (n+3)(M+2) 로 일치하고, 나머지는 모두 어긋납니다.

M & n & nM+33 & (n+3)(M+2) & 일치? ; 4 & 6 & 57 & 9 · 6 = 54 & × ; 5 & 5 & 58 & 8 · 7 = 56 & × ; 6 & 4 & 57 & 7 · 8 = 56 & × ; 7 & 3 & 54 & 6 · 9 = 54 & ✓ ; 8 & 2 & 49 & 5 · 10 = 50 & ×

5STEP 5

두 단서를 모두 통과하는 후보는 M = 7 뿐이고 n = 3 — 선택지 (D) 와 일치.

M = 7 → (D)

정답

당첨 숫자들로 직접 검증. Maureen 이 퀴즈 3 번에 평균 7 이면 총점은 21. 한 번 더 11 점이면 총점 32, 퀴즈 4 번, 평균

\frac{32}{4}

= 8 = 7 + 1 ✓. 세 번 더 11 점이면 총점 21 + 33 = 54, 퀴즈 6 번, 평균

\frac{54}{6}

= 9 = 7 + 2 ✓. 두 조건 모두 정확히 일치. 크기 점검: M = 7 은 11 보다 충분히 작아 추가 11 점이 평균을 끌어올린다는 전제와 부합.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균 개념만 알면 풀 수 있어요 — "총점 = 퀴즈 수 × 평균" 한 줄이 각 단서를 식으로 바꿔주고, 다섯 선택지를 차례로 대입해 M = 7 을 1분 안에 찾을 수 있습니다.

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