AMC 10 · 2023 · #4

학년 6 geometry-2d

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perimeterpolygon-inequalitysystematic-enumeration bound-inequality-then-enumeratecaseworkguess-and-check ↑ 선수 지식: perimetermulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

네 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 26, 그중 한 변이 4 인 사각형이 있습니다. 한 변의 길이로 가능한 가장 큰 값은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

둘레가 고정된 도형 문제는 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발 — 가장 긴 변을 너무 길게 잡으면 나머지 세 변이 그 양 끝을 "감싸지 못해" 도형이 직선으로 납작해진다는 것이 그림 한 장으로 보입니다. 이것이 곧 다각형 부등식. "긴 변 ＜ 둘레의 절반" 이라는 한계가 보인 뒤에는, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 (E) 13 부터 내려가며 시도하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리합니다. 대수(#13)는 굳이 필요 없습니다 — 그림이 더 빨라요.

1STEP 1

한 변을 4 로 두고 사각형을 스케치 — 다른 한 변을 길게 밀고 나머지 세 변이 고리를 닫습니다.

a + b + c + d = 26, d = 4 → a + b + c = 22

2STEP 2

a 가 가장 긴 변이면 나머지 세 변의 합이 a 보다 커야 고리가 닫힙니다 — 이게 다각형 부등식.

a ＜ b + c + d

3STEP 3

b + c + d 를 26 − a 로 바꾸면 a ＜ 26 − a, 정리하면 a ＜ 13.

a ＜ 26 - a ⟹ 2a ＜ 26 ⟹ a ＜ 13

4STEP 4

선택지를 내려가며: (E) 13 은 엄격한 부등호로 탈락; a = 12 는 변 12, 5, 5, 4 로 12 ＜ 14 를 만족.

a = 12: b = c = 5, d = 4 → 12 + 5 + 5 + 4 = 26, 12 ＜ 14 ✓

5STEP 5

(E) 13 은 a ＜ 13 위반; 더 작은 선택지는 여유가 있어 최댓값이 아님 — 가장 큰 변은 12, 선택지 (D).

max a = 12 → (D)

정답

경계 재확인. a = 13 이면 b + c + d = 13 = a — 다각형 부등식 위반(고리가 긴 변 위에 그대로 포개짐)이므로 13 은 정말 안 됨. a = 12 라면 (12, 5, 5, 4) 변으로 된 사각형이 둘레 26, 12 ＜ 14 모두 만족 — 실제로 존재. 답 12 가 (D) 와 일치. 크기 감각: 한계는 "둘레의 절반보다 작다" —

\frac{26}{2}

= 13 미만의 가장 큰 정수가 12.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "x ＜ c" 부등식만 알면 풀 수 있어요 — 한 변은 둘레의 절반보다 작아야 하니, $\frac{26}{2}$ = 13 미만, 곧 12!

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