AMC 10 · 2023 · #14

학년 8 algebra

polynomial-factoringsymmetry-argumentbound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: polynomial-factoringsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

m² + mn + n² = m² n² 을 만족하는 정수 순서쌍 (m, n) 의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

도구 #6(추측하고 확인하기) 로 우선 발판을 만듭니다 — (0,0), (1,1), (1,-1), (2,1), … 을 직접 넣어 보며 방정식이 얼마나 빡빡한지 감을 잡습니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 작은 영역 (|m|, |n| ≤ 2) 을 훑으면 모든 해를 찾습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 가 마무리: 양변에 mn 을 더하면 (m+n)² = mn(mn+1) — 연속된 두 정수의 곱이 완전제곱수가 되려면 둘 중 하나가 0 이어야만 함. 도구 #9(더 쉬운 문제) 검증: m + n = mn 형태도 정수해가 유한하다는 비슷한 직관. 도구 #3(가능성 지우기): 세 개의 해를 찾으면 (B) 1 은 제외되고 큰 선택지도 배제됨.

1STEP 1

작은 쌍을 넣어 보면 (0, 0), (1, -1), (-1, 1) 은 성립, (1, 1), (2, 2), (2, 1) 은 실패.

(0, 0), (1, -1), (-1, 1) 성공; 다른 시험값은 실패.

2STEP 2

|m|, |n| ≥ 2 이면 우변 (mn)² 이 좌변을 압도하므로 해는 원점 근처에만 존재 — 유한 탐색으로 충분.

|m|, |n| ≥ 2 → 우변 ≫ 좌변

3STEP 3

양변에 mn 을 더하면 좌변이 완전제곱식이 되어 (m + n)² = mn(mn + 1).

(m + n)² = mn · (mn + 1)

4STEP 4

mn 과 mn + 1 은 연속 — 그 곱이 완전제곱수이려면 0 이어야 하므로 mn = 0 또는 mn = -1.

mn = 0 또는 mn = -1

5STEP 5

두 경우 모두 m + n = 0: mn = 0 이면 (0, 0); mn = -1 이면 m² = 1 이라 (1, -1) 과 (-1, 1).

경우 A: (0, 0). 경우 B: (1, -1), (-1, 1).

6STEP 6

최종 목록 (0, 0), (1, -1), (-1, 1) — 순서쌍 세 개, 선택지 (C).

#{쌍} = 3 → (C)

정답

각 해를 직접 대입해 검증. (0, 0): 좌변 = 0, 우변 = 0. (1, -1): 좌변 = 1 - 1 + 1 = 1, 우변 = 1. (-1, 1): 대칭으로 같은 검증. 모두 통과. 경계 점검: (0, k) (k ≠ 0) 를 놓쳤나? 좌변 = k², 우변 = 0, k ≠ 0 이면 불일치. 다른 영점 해 없음. |m|, |n| ≥ 2 의 해를 놓쳤나? 2단계의 부등식으로 배제, 3-5단계의 인수분해로도 깔끔하게 배제 (남는 경우 없음).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "완전제곱식 만들기" 만 알면 풀 수 있어요 — 양변에 mn 을 더하면 (m+n)² = mn(mn+1) 이 되고, 연속된 두 정수의 곱이 완전제곱수가 되려면 한 쪽이 0 이어야 하므로 해는 (0, 0), (1, -1), (-1, 1) — 정확히 3 개.