경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2023B · #14

학년 8 algebra
polynomial-factoringsymmetry-argumentbound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: polynomial-factoringsystematic-enumeration
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
m² + mn + n² = m² n² 을 만족하는 정수 순서쌍 (m, n)의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
7
(B)
1
(C)
3
(D)
6
(E)
5

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 추측하고 확인하기

도구 #6(추측하고 확인하기)로 우선 발판을 만듭니다 — (0,0), (1,1), (1,-1), (2,1), … 을 직접 넣어 보며 방정식이 얼마나 빡빡한지 감을 잡습니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 작은 영역 (|m|, |n| ≤ 2)을 훑으면 모든 해를 찾습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)가 마무리: 양변에 mn 을 더하면 (m+n)² = mn(mn+1) — 연속된 두 정수의 곱이 완전제곱수가 되려면 둘 중 하나가 0 이어야만 함. 도구 #9(더 쉬운 문제) 검증: m + n = mn 형태도 정수해가 유한하다는 비슷한 직관. 도구 #3(가능성 지우기): 세 개의 해를 찾으면 (B) 1은 제외되고 큰 선택지도 배제됨.

1STEP 1

작은 수 짝 직접 넣어 보기

작은 쌍을 넣어 보면 (0, 0), (1, -1), (-1, 1) 은 성립, (1, 1), (2, 2), (2, 1)은 실패.

(0, 0), (1, -1), (-1, 1) 성공; 다른 시험값은 실패.
2STEP 2

큰 값이 안 되는 이유 보기

|m|, |n| ≥ 2이면 우변 (mn)²이 좌변을 압도하므로 해는 원점 근처에만 존재 — 유한 탐색으로 충분.

|m|, |n| ≥ 2 → 우변 ≫ 좌변
3STEP 3

식 하나로 바꿔 쓰기

양변에 mn 을 더하면 좌변이 완전제곱식이 되어 (m + n)² = mn(mn + 1).

(m + n)² = mn · (mn + 1)
4STEP 4

mn을 k로 놓기

mn 과 mn + 1은 연속 — 그 곱이 완전제곱수이려면 0 이어야 하므로 mn = 0 또는 mn = -1.

mn = 0 또는 mn = -1
5STEP 5

각 경우 풀기

두 경우 모두 m + n = 0: mn = 0이면 (0, 0); mn = -1이면 m² = 1이라 (1, -1)과 (-1, 1).

경우 A: (0, 0). 경우 B: (1, -1), (-1, 1).
6STEP 6

모든 짝 모으기

최종 목록 (0, 0), (1, -1), (-1, 1) — 순서쌍 세 개, 선택지 (C).

#{쌍} = 3 → (C)
정답
3
각 해를 직접 대입해 검증. (0, 0): 좌변 = 0, 우변 = 0. (1, -1): 좌변 = 1 - 1 + 1 = 1, 우변 = 1. (-1, 1): 대칭으로 같은 검증. 모두 통과. 경계 점검: (0, k) (k ≠ 0)를 놓쳤나? 좌변 = k², 우변 = 0, k ≠ 0이면 불일치. 다른 영점 해 없음. |m|, |n| ≥ 2의 해를 놓쳤나? 2단계의 부등식으로 배제, 3-5단계의 인수분해로도 깔끔하게 배제 (남는 경우 없음).
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "완전제곱식 만들기" 만 알면 풀 수 있어요 — 양변에 mn 을 더하면 (m+n)² = mn(mn+1)이 되고, 연속된 두 정수의 곱이 완전제곱수가 되려면 한 쪽이 0 이어야 하므로 해는 (0, 0), (1, -1), (-1, 1) — 정확히 3 개.

  • 작은 수 짝 직접 넣어 보기
  • 큰 값이 안 되는 이유 보기
  • 식 하나로 바꿔 쓰기
  • mn을 k로 놓기
  • 각 경우 풀기
  • 모든 짝 모으기

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